第二篇 第四章 第3节 指数函数及其性质的应用-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第３节　指数函数及其性质的应用 　　　 利用指数函数单调性比较幂 　　　　　的大小 已知a＝０．７７１．２,b＝１．２０．７７,c＝π０,则 a,b,c的大小关系是 (　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b [解析]　(１)a＝０．７７１．２,０＜a＜１, b＝１．２０．７７＞１,c＝π０＝１,则a＜c＜b． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 比较幂值大小的三种类型及处理方法 [变式训练] １．已知a＝ ３５ æ è ç ö ø ÷ －１３ ,b＝ ３５ æ è ç ö ø ÷ －１４ ,c＝ ３２ æ è ç ö ø ÷ －３４ , 则a,b,c的大小关系是 (　　) A．c＜a＜b　　　　　　B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 　　解指数不等式 (１)解不等式 １２ æ è ç ö ø ÷ ２x－１ ≤２; (２)若a－３x ＞ax＋４(a＞１),求x 的取值 范围． [解]　(１)原不等式⇔２－２x＋１≤２⇔－２x ＋１≤１⇔x≥０, 故原不等式的解集为[０,＋∞)． (２)因为f(x)＝ax(a＞１)是 R上的增函 数,且a－３x ＞ax＋４,所 以 －３x＞x＋４, 即x＜－１, 故x的取值范围是(－∞,－１)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　af(x)＞ag(x)(a＞０且a≠１) 型的指数不等式的解法 (１)a＞１时,af(x)＞ag(x)⇔f(x)＞g(x)． (２)０＜a＜１ 时,af(x)＞ag(x)⇔f(x) ＜g(x)． 提醒:不等式的解集一定要写成集合或 区间的形式,不能写成不等式的形式． [变式训练] ２．(１)不等式３x－２＞１的解为　　　　　; (２)若ax＋１＞ １a æ è ç ö ø ÷ ５－３x (a＞０,且a≠１),求x 的取值范围． 　　　 指数函数的综合应用 已知函数f(x)＝１－ ２３x＋１ ． (１)求函数f(x)的定义域,判断并证明 f(x)的奇偶性; (２)用单调性定义证明函数f(x)在其定 义域上是增函数; (３)解不等式f(３m＋１)＋f(２m－３)＜０． [解]　(１)因为３x＞０,３x＋１≠０,函数 f(x)的定义域为R,f(x)＝１－ ２３x＋１ ＝３ x＋１－２ ３x＋１ ＝３ x－１ ３x＋１ , 所以f(－x)＝３ －x－１ ３－x＋１ ＝１－３ x １＋３x ＝－f(x)． 所以f(x)是定义在R上的奇函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９ 第二篇 (２)任取x１,x２∈R且x１＜x２, 则 f (x１ )－f (x２ )＝１－ ２ ３x１＋１ － １－ ２ ３x２＋１ æ è ç ö ø ÷＝ ２ ３x２＋１ － ２ ３x１＋１ ＝２ (３x１＋１)－２(３x２＋１) (３x１＋１)(３x２＋１) ＝ ２ (３x１－３x２) (３x１＋１)(３x２＋１) , 因为x１＜x２,所以３x１－３x２＜０． f(x１)－f(x２)＜０即f(x１)＜f(x２),所 以函数f(x)在其定义域上是增函数． (３)由f(３m＋１)＋f(２m－３)＜０得 f(３m＋１)＜－f(２m－３),因为函数 f(x)为奇函数, 所以－f(２m－３)＝f(３－２m), 所以f(３m＋１)＜f(３－２m)． 由(２)已 证 得 函 数 f(x)在 R 上 是 增 函数, 所以f(３m＋１)＜f(３－２m)⇔３