第二篇 第四章 第1节 指数与指数幂的运算-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

第四章　指数函数与对数函数 第１节　指数与指数幂的运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的１４C的衰减,药物在人体内残留量的变化 等),了解指数函数模型的实际背景． ２．理解有理数指数幂的含义,通过具体实例,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算． 　　　根式 １．根式及相关概念 (１)a的n 次方根定义 如果　　　　　,那么x叫做a 的n 次 方根,其中n＞１,且n∈N∗． (２)a的n 次方根的表示 n的奇偶性 a的n 次方根 的表示符号 a的取 值范围 n为奇数 na R n为偶数 ±na [０,＋∞) (３)根式 式子　　　　　叫做根式,这里n叫做 　　　　　,a叫做　　　　． ２．根式的性质 (１)n０＝　　(n∈N∗ ,且n＞１); (２)(na)n＝　　(n∈N∗ ,且n＞１); (３) n an＝　　(n为大于１的奇数); (４) n an＝　　　＝ 　　(a≥０) 　　(a＜０){ (n为大于１ 的偶数)． １．根式记号的注意点 (１)根式的概念中要求n＞１,且n∈N∗． (２)当n为大于１的奇数时,a的n 次方根 表示为na(a∈R);当n为大于１的偶数 时,na(a≥０)表示a在实数范围内的一 个n 次 方 根,另 一 个 是 － na,从 而 (±na)n＝a． ２．(na)n 与 n an的区别 (１)当n为奇数,且a∈R时,有 n an＝(na)n ＝a; (２)当n为偶数,且a≥０时,有 n an＝(na)n ＝a． (３)当n为偶数且a≤０时, n an＝－a． 　　　分数指数幂 １．分数的指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定:a m n ＝　　(a＞０,m,n ∈N∗ ,且n＞１) 负分数 指数幂 规定:a－ m n ＝１ a m n ＝ １n am (a＞ ０,m,n∈N∗ ,且n＞１) 性质 ０ 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 　　,０ 的 负 分 数 指 数 幂　　　　 ２．有理数指数幂的运算性质 (１)ar􀅰as＝　　　(a＞０,r,s∈Q); (２)(ar)s＝　　　(a＞０,r,s∈Q); (３)(ab)r＝　　　(a＞０,b＞０,r∈Q)． ３．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a＞０,α是无理数)是一 个　　　．有理数指数幂的运算性质对 于无理数指数幂同样适用． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中新知探究学习 １．对分数指数幂的理解 (１)指数幂a m n 不可以理解为m n 个a 相乘,它 是根式的一种新写法．在定义的规定下, 根式与分数指数幂是表示相同意义的量, 只是形式上不同而已,这种写法更便于指 数运算,所以分数指数幂与根式可以相互 转化; (２)通常规定分数指数幂的底数a＞０,但要 注意在像(－a) １ ４ ＝４－a中的a,则需要 a≤０． ２．有理指数幂的运算性质的理解与巧记 (１)有理数指数幂的运算性质是由整数指 数幂的运算性质推广而来,可以用文字 语言叙述为:①同底数幂相乘,底数不 变,指数相加;②幂的幂,底数不变,指 数相乘;③积的幂等于幂的积． (２)有理数指数幂的运算性质中幂指数运 算法则遵循:乘相加,除相减,幂相乘． 　　根式的性质 求下列根式的值． (１) ４(－２)４;(２) ５(２－π)５; (３) ４(x＋１)４; [解]　(１) ４(－２)４＝２． (２) ５(２－π)５＝２－π． (３) ４(x＋１)４＝|x＋１| ＝ x＋１,x≥－１, －x－１,x＜－１．{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋