第二篇 第三章 第4节 函数的奇偶性-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第４节　函数的奇偶性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合具体函数,了解奇偶性的含义． ２．学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 　　　函数的奇偶性 奇偶性 条件 偶函数 对于函数f(x)定义域内的任意 一个x,都有　　　　 奇函数 对于函数f(x)定义域内的任意 一个x,都有　　　　 理解函数的奇偶性应关注四点 (１)函数的单调性是函数的“局部”性质,而 奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其 定义域内的每一个 x,都有f(－x)＝ －f(x)(或f(－x)＝f(x)),才能说 f(x)是奇(偶)函数． (２)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一 个必不可少的条件:定义域关于原点对 称．换言之,若所给函数的定义域不关 于原点对称,则这个函数一定不具有奇 偶性．例如,函数y＝x２ 在区间(－∞, ＋∞)上是偶函数,但在区间[－１,２]上 却无奇偶性可言． (３)若奇函数在原点处有定义,则必有f(０) ＝０． (４)若 f(－x)＝－f(x),且 f(－x)＝ f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数, 既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x) ＝０,x∈D,D 是 关 于 原 点 对 称 的 实 数集． 　 　　　奇偶函数的图象 １．偶函数的图象关于　　　对称． ２．　　　　的图象关于坐标原点对称． 给出奇函数或偶函数在y 轴一侧的图 象,根据奇函数的图象关于原点对称,偶 函数的图象关于y 轴对称,可以作出函 数在y轴另一侧的图象．作对称图象时, 可以先从点的对称出发,点(x０,y０)关于 原点的对称点为(－x０,－y０),关于y轴 的对称点为(－x０,y０)． 　　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (１)f(x)＝ x２－１＋ １－x２; (２)f(x)＝x２－２|x|＋１,x∈[－１,１]． [解]　(１)由 x２－１≥０, １－x２≥０,{ 得x ２＝１, 即x＝±１． ∴函数f(x)的定义域是{－１,１},关于原 点对称． 又∵f(x)＝０,∴f(x)既是奇函数又是偶 函数． (２)函数的定义域为[－１,１],关于原点 对称． ∵f(－x)＝(－x)２－２|－x|＋１ ＝x２－２|x|＋１＝f(x), ∴f(x)是偶函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断函数奇偶性的方法有 定义法和图象法 (１)定义法判断函数奇偶性的步骤是先 求函数的定义域,若定义域不关于原点 对称则说明函数既不是奇函数也不是 偶函数;若定义域关于原点对称,则再 求f(－x),并判断f(－x)＝±f(x)是 否成立来确定奇偶性．有时还可以用其等 价式f(－x)±f(x)＝０或f (－x) f(x)＝±１ (f(x)≠０)来判断． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８ 第二篇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(２)若一个函数的图象方便作出的话, 可以利用图象的对称性确定函数的奇 偶性． 对于解答题,为了体现解题的严谨性