第二篇 第三章 第3节 函数的单调性与最大(小)值.-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

第３节　函数的单调性与最大(小)值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 　　　函数的单调性 １．增(减)函数的定义 设函数f(x)的定义域为I ↓　 　 增函数 　　 　 如果对于区间I内的任意 两个值x１,x２,当x１ ＜x２ 时,都有　　　　　　　, 那么就说函数 f(x)在区 间I上是单调增函数,I称 为f(x)的单调增区间 　　　 减函数 　　 　 如果对于区间I内的任意 两个值x１,x２,当x１ ＜x２ 时,都有　　　　　　　, 那么就说函数 f(x)在区 间I上是单调减函数,I称 为f(x)的单调减区间 ２．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D 上是　　　 　　　,那么就说函数y＝f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 函数y＝f(x)的单调区间． １．x１,x２ 的三个特征 (１)任意性,即x１,x２ 是在某一区间上的任 意两个值,不能以特殊值代换; (２)有大小,即确定的两个值x１,x２ 必须区 分大小,一般令x１＜x２; (３)同属一个单调区间． ２．理解函数的单调性应注意的问题 (１)函数的单调性是函数的局部性质,体现 在函数的定义域或其子区间上,所以函 数的单调区间是其定义域的子集． (２)函数的单调性是对某个区间而言的,在 某一点上不存在单调性． (３)一个函数出现两个或者两个以上的单 调区间时,不能用“∪”连接,而应该用 “和”连接．如函数y＝１x 在(－∞,０)和 (０,＋∞)上单调递减,却不能表述为: 函数y＝１x 在(－∞,０)∪(０,＋∞)上单 调递减． (４)并非所有的函数都具有单调性．如函数 f(x)＝ １,(x是有理数), ０,(x是无理数),{ 就不具有单 调性． 　　　函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 条件 函数y＝f(x)的定义域为I,存在 实数 M 满足: (１)对于任意的x ∈I,都有　　　 (２)存 在 x０ ∈I, 使　　　 (１)对任意 x ∈I,都有　　 　　　 (２)存在x０∈ I,使　　　　 结论 M 是 函 数 y ＝ f(x)的最大值 M 是函数y＝ f (x)的 最 小值 １．函数最大(小)值的几何意义 函数的最大值对应图象最高点的纵坐 标;函数的最小值对应图象最低点的纵 坐标． ２．函数的最大(小)值与值域、单调性之间 的关系 (１)对一个函数来说,一定有值域,但不一 定有最值,如函数y＝１x． 如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素． (２)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则 f(x)的最值必在区间端点处取得,即最大 值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８７ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中新知探究学习 　　　　函数单调性的证明 求证:函数f(x)＝１x２ 在(０,＋∞)上 是减函数,在(－∞,０)上是增函数． [证明]　对于任意的x１,x２∈(－∞,０), 且x１＜x２,有f(x１)－f(x２)＝ １ x２１ －１ x２２ ＝ x２２－x２１ x２１x２２ ＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． ∵x１＜x２＜０, ∴x２－x１＞０,x１＋x２＜０,x２１x２２＞０． ∴f (x１)－f (x２)＜０, 即f (x１)＜f (x２)．∴函数 f (x)＝１x２ 在(－∞,０)上是增函数． 对于任意的x１,x２∈(０,＋∞),且x１＜ x２,有f (x１)－f(x２) ＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． ∵０＜x１＜x２, ∴x２－x１＞０,x２＋x１＞０,x２１x２２＞０． ∴f(x１)－f(x２)＞０