第二篇 第二章 第3节 一元二次不等式-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

高中新知探究学习 第３节　一元二次不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式在初中不作要求,是高中数学必修５的内容,在高中数学学习一元 二次不等式之前,常常涉及解一元二次不等式,一元二次不等式与二次函数、一元二次 方程联系紧密,因此本节将一元二次不等式提前学习．通过本节的学习,要掌握一元二 次不等式的解法和一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系． 　　　一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高 次数是２的不等式,称为一元二次不等 式．任意的一元二次不等式,总可以化为 一般形式:ax２＋bx＋c＞０(a＞０)或ax２ ＋bx＋c＜０(a＞０)． 　　　一元二次不等式的解法 一元二次不等式ax２＋bx＋c＞０(a≠０) 的解就是使二次函数y＝ax２＋bx＋c(a ≠０)的函数值y＞０的x的值;一元二次 不等式ax２＋bx＋c＜０(a≠０)的解就是 使二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的函 数值y＜０的x的值． 设一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 的两根为x１,x２ 且x１＜x２,Δ＝b２－４ac, 则相 应 的 不 等 式 的 解 的 各 种 情 况 如 下表: Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋ bx＋c(a ＞ ０)的 图象 ax２ ＋bx ＋c＝０(a ＞０)的根 有两相异 实 根 x１, x２ (x１ ＜ x２) 有两相等 实 根 x１ ＝ x２ ＝ －b２a 无实根 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ ax２ ＋bx ＋c＞０(a ＞０)的解 x＜x１ 或 x＞x２ x≠－b２a 任意 实数解 ax２ ＋bx ＋c＜０(a ＞０)的解 x１ ＜ x ＜x２ 无解 无解 １．(１)一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 的两根x１,x２ 是相应的不等式的解的端 点的取值,是抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠ ０)与x轴的交点的横坐标; (２)表中不等式的二次项系数均为正,如果 不等式的二次项系数为负,应先利用不 等式的性质转化为二次项系数为正的 形式,然后讨论解决; (３)分Δ＞０,Δ＝０,Δ＜０三种情况,得到一 元二次不等式ax２＋bx＋c＞０与ax２＋ bx＋c＜０的解． ２．对于可化为ax２＋bx＋c＞０(a≠０)的不 等式,若式中含有参数,解题时需根据参 数的范围进行分类讨论,分类讨论的依 据主要有以下三点: (１)讨论二次项系数:当二次项系数不确定 时,要分二次项系数等于零、大于零、小 于零三种情况讨论; (２)讨论判别式:当判别式不确定时,要分 判别式 Δ＞０,Δ＜０、Δ＝０ 三 种 情 况 讨论; (３)讨论两根大小:当判别式大于零时,需 对两根的大小进行讨论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３６ 第二篇 　　解一元二次不等式 解不等式． (１)x２＋２x－３≤０; (２)x－x２＋６＜０; (３)４x２＋４x＋１≥０; (４)x２－６x＋９≤０． [解]　(１)∵Δ＞０,方程x２＋２x－３＝０ 的解是x１＝－３,x２＝１． ∴不等式的解为－３≤x≤１． (２)整理得, x２－x－６＞０． ∵Δ＞０,方程x２－x－６＝０的解为 x１＝－２,x２＝３． ∴原不等式的解为x＜－２或x＞３． (３)整理,得(２x＋１)２≥０． 由于上式对任意实数x都成立, ∴原不等式的解为一切实数． (４)整理,得(x－３)２≤０． 由于当x＝３时,(x－３)２＝０成立;而对 任意的实数x,(x－３)２＜０都不成立, ∴原不等式的解为x＝３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋