第一篇 第一章 第3节 乘法公式与因式分解-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 　　　　　　　　　　第３节　乘法公式与因式分解　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　立方和、立方差公式在初中不作要求,而在高中的化简、运算中经常用到,通过本节 的学习要记住这些公式并能灵活应用;利用添项、拆项等方法分解因式在初中也不作要 求,而在高中也经常用到． 一、知识链接 (一)乘法公式也叫简乘公式 就是把一些特殊的多项式相乘的结果加 以总结,直接应用．公式中的每一个字 母,可以表示数字、单项式、多项式或根 式、分式等． １．平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a２－b２; ２．完全平方公式:(a±b)２＝a２±２ab＋b２; ３．立 方 和 公 式:(a＋b)(a２ －ab＋b２) ＝a３＋b３; ４．立 方 差 公 式:(a－b)(a２ ＋ab＋b２) ＝a３－b３． (二)因式分解的一些基本方法 １．提公因式法 一般地,如果多项式的各项有公因式,可 以把这个公因式提到括号外面,将多项 式写成因式乘积的形式,这种分解因式 的方法叫做提公因式法．具体方法:当各 项系数都是整数时,公因式的系数应取 各项系数的最大公约数;字母取各项的 相同的字母,且各字母的指数取次数最 低的;取相同的多项式,且多项式的次数 取最低的． ２．公式法 如果把乘法公式反过来用,就可以用来 把某些多项式分解因式．常用公式有: 平方差公式:a２－b２＝(a＋b)(a－b); 完全平方公式:a２±２ab＋b２＝(a±b)２; a２＋b２＋c２＋２ab＋２ac＋２bc＝(a＋b＋c)２; 立方和(差)公式:a３±b３＝(a±b)(a２∓ ab＋b２)． ３．分组分解法 (１)定义:把多项式分成几组来分解因式的 方法叫做分组分解法． (２)分组的标准 将多项式的项适当分组,必要时可通过 拆项、添项以保证分组后组与组之间能 提公因式或运用公式． (３)分组的方法 四项或四项以上的多项式的因式分解一般 要分组,四项多项式分组的方法有:三、一分 组和二、二分组,用三、一分组的,其特征是 其中三项(或提取“－”号后)是完全平方公 式,另一项也是某整式的平方,可以用平方 差公式继续分解,先观察能否用三、一分组, 若不能,则进行二、二分组,对于二、二分组 要注意公式的应用和分组方法的不唯一． 二、化解疑难 １．因式分解是整式乘法的逆变形,所以可 以利用整式乘法来分解因式或检验因式 分解的结果是否正确． ２．因式分解的过程是代数式的恒等变形, 不要与解方程或解不等式的同解变形相 混淆．如:１４x ３－２x２＋１２x＝x ３－８x２＋２x ＝x(x２－８x＋２)就不是恒等变形,这种 做法是将原多项式扩大到原来的４倍． 正确 的 解 法 应 是 １ ４x ３ －２x２ ＋ １２x＝ １ ４ (x３－８x２＋２x)＝１４x (x２－８x＋２)． ３．在提取公因式时,若首项系数为负数,一 般先要提出“－”号,但注意此时括号内 各项应变号;不能漏项,提出公因式后, 每一项都有剩余部分,它们的项数与原 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９ 第一篇 多项式的项数相同;当多项式的某项与 公因式相同时,被全部提出后,剩下的多 项式应在相应的位置上补“１”,如am＋ bm＋m＝m(a＋b＋１);提取公因式后,剩 下的多项式需要整理成最简形式;应提 取最大公因式,分解要彻底． ４．熟记公式特征是关键,要注意公式间的 特征比较． 不要犯a２＋b２＝(a±b)２,－a２－b２＝ －(a±b)２ 这样的错误． 　　　 利用平方差、完全平方公式计算 化简:(１)(a＋２b)(a－２b)－(a－２b)２ (２)(x－３)２－(x＋２)(x－２)． [解]　(１)原式＝a２－４b２－(a２－４ab＋ ４b２)＝a２ － ４b２ － a２ ＋ ４ab