第一篇 第三章 第2节 二次函数-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 　　　　　　　　　　　　　　　第２节　二次函数　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　高中对二次函数有更高的要求,特别是在含有参数的二次函数问题方面,因此通过 本节的学习要在复习二次函数的图形、性质和解析式的基础上,掌握含有参数的二次函 数最值的求法． 一、知识链接 １．二次函数的定义 形如y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的函数叫关于x 的二次函数． ２．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的图象 和性质 条件 a＞０ a＜０ 图 象 对称轴x＝－b２a ,顶点坐 标 －b２a ,４ac－b ２ ４a( ) 对称轴x＝－b２a ,顶点坐 标 －b２a ,４ac－b ２ ４a( ) 增 减 性 当x≤－b２a 时,y随x 的增大而减小;当x≥ －b２a 时,y 随x 的增 大而增大 当x≤－b２a 时,y随x 的增大而增大;当x≥ －b２a 时,y 随x 的增 大而减小 最大 (小)值 当x＝－b２a 时,y达到 最小值y＝４ac－b ２ ４a , 无最大值 当x＝－b２a 时,达到最 大值y＝４ac－b ２ ４a ,无 最小值 ３．二次函数解析式的三种常见的表达形式 (１)一般式:y＝ax２＋bx＋c(a≠０); (２)顶点式:y＝a(x－h)２＋k(a≠０),其中 h＝－b２a ,k＝４ac－b ２ ４a ; (３)两根式(交点式):若方程ax２＋bx＋c＝０(a ≠０)有两根x１,x２,则二次函数y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)可以改写成y＝a(x－x１)(x －x２)(a≠０),其中x１,x２ 是方程ax２＋bx ＋c＝０(a≠０)的两根,也是二次函数的图 象与x轴的交点的横坐标． 二、化解疑难 １．理解二次函数的定义要注意掌握它的结 构特征． (１)等号左边是函数,右边是关于x 的二 次式; (２)x的最高次项是２次; (３)二次项的系数a≠０,b,c可以为零． ２．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)中,x,y 是变量,a,b,c是常数,其中b,c可以是任 意实数,a必须是不等于零的实数．这是 因为当a＝０时,二次函数就变成了一次 函数y＝bx＋c(b≠０)． ３．画一般二次函数图象的一般方法是:利用二 次函数的性质,先确定抛物线的对称轴和顶 点坐标,再在抛物线对称轴的一侧取一些值 描点,根据对称性,在抛物线对称轴的另一 侧描出相关的对称点,然后用平滑的曲线顺 次连接各点,即得其图象,这样画出的二次 函数图象就比较完整． 　　二次函数的图象 已知抛物线y＝－x２＋２x＋２． (１)该抛物线的对称轴是　　　　,顶点 坐标是　　　　; (２)选取适当的数据填入下表,并在图中 的直角坐标系内描点画出该抛物线的 图象; x 􀆺 􀆺 y 􀆺 􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３ 第一篇 (３)若该抛物线上两点A(x１,y１),B(x２, y２)的横坐标满足x１＞x２＞１,试比较y１ 与y２ 的大小． [解]　(１)直线x＝１;(１,３)． (２)列表如下: x 􀆺 －１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y 􀆺 －１ ２ ３ ２ －１ 􀆺 描 点 画 图 象 如 图 所示． (３)∵a＝－１,∴抛 物线的开口向下． ∴ 在 对 称 轴 直 线 x＝１右侧,y随x 的 增大而减小． ∵x１＞x２＞１,∴y１＜y２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋