第一篇 第二章 第2节 可化为一元二次方程的分式方程的解法-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第２节　可化为一元二次方程的分式方程的解法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　在初中阶段我们学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法,而为了适应高中 学习,我们需要补充可化为一元二次方程的分式方程的解法,并且只要求掌握不超过三 个分式构成的分式方程的解法,并会用去分母法和换元法两种方法求方程的根． 一、知识链接 １．可化为一元二次方程的分式方程 可化为一元二次方程的分式方程通常有 两种类型． 一 是 “倒 数 型”,如 方 程 ３x x２－１ ＝ ５２ － x２－１ ３x ,设 ３x x２－１ ＝y,则原方程可化为y＝ ５ ２－ １ y ,方程两边同乘y,即得一元二次 方程y２－５２y＋１＝０． 二是“平方型”,如 １ x＋x æ è ç ö ø ÷ ２ － １x＋x æ è ç ö ø ÷－ １２＝０,设１x＋x＝y ,则原方程可化为 y２－y－１２＝０．解可化为一元二次方程 的分式方程时,要注意“整体”形式,每一 整体项结构,若经过变形后可化为上述 两种类型,就可用“换元法”化成一元二 次方程来解． ２．去分母解分式方程的一般步骤 (１)把各分式的分母因式分解; (２)在方程两边同乘各分式的最简公分母; (３)去括号,把所有项都移到左边,合并同 类项; (４)解整式方程; (５)验根,验根的基本方法是代入原方程进 行检验,但代入原方程计算量较大．而 分式方程可能产生增根,就是使分式方 程的分母为０的根．因此我们只要检验 整式方程的根,是否使分式方程两边同 乘的各分式的最简公分母为０．若为０, 即为增根;若不为０,即为原方程的解． 二、化解疑难 １．解可化为一元二次方程的分式方程时, 要先把各分式的分母能因式分解的都要 因式分解． ２．当方程中的一个分式是另一个的倒数 (或倒数的几倍)时,可以设一个分式为 y,则另一个分式为１y ,这样就把原分式方 程转化为一个简单的分式． 　　分式方程的增根问题 试确定实数m 的值,使关于x的方程 ３ x＋ ３ x－１＝ x＋m x(x－１) 有增根． [思路分析]　分式方程化为整式方程后 求得的根,若使原方程的分母为零,则为 增根,由此我们可以得到如下解法． [解]　原方程去分母,两边同时乘以 x(x－１), 得３(x－１)＋３x＝x＋m, 去括号、移项、合并同类项得５x＝３＋m, 解方程得x＝３＋m５ ． 若使 方 程 有 增 根,只 要 x＝１ 或 x＝０ 即可, 故３＋m ５ ＝１ 或３＋m ５ ＝０ , 即m＝２或m＝－３． ∴当m＝２或m＝－３时,关于x的方程 ３ x＋ ３ x－１＝ x＋m x(x－１) 有增根． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２ 第一篇 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 增根问题可按如下步骤进行: ①根据最简公分母确定增根的值; ②化分式方程为整式方程; ③把增根代入整式方程即可求得相关 字母的值． [变式训练] １．k取何值时,方程 ２xx＋１－ x－１ x ＝ k x２＋x 会 产生增根? 　　　　可化为一元二次方程的分式方 　　　　　程的解法 解方程:１ x＋２＋ ４x x２－４ － ２x－２＝１． [思路分析]　先确定最简公分母为(x＋ ２)(x－２),然后方程两边同时乘最简公 分母变为整式方程． [解]　原方程可化为 １x＋２＋ ４x (x＋２)(x－２)－ ２ x－２＝１ ,方程两边各项 都乘(x＋２)(x－２),得 (