第一篇 第二章 第1节 一元二次方程-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第二章　方程与不等式(组) 第１节　一元二次方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高中数学在解析几何里对一元二次方程的根与系数的关系有更高的要求,因此通 过本节的学习要在初中数学的基础上,能更灵活地运用韦达定理解题． 一、知识链接 １．一元二次方程的求根公式与判别式 对于一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠ ０),我们把b２－４ac叫做一元二次方程 ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的根的判别式,通 常用符号“Δ”来表示． (１)当Δ＞０时,方程有两个不相等的实数 根x１,２＝ －b± b２－４ac ２a ; (２)当Δ＝０时,方程有两个相等的实数根 x１＝x２＝－ b ２a ; (３)当Δ＜０时,方程没有实数根． ２．一元二次方程根与系数的关系 如果ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两根分别 是x１,x２,那么x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a． 这一关系也被称为韦达定理．特别地, 对于二次项系数为１的一元二次方程 x２＋px＋q＝０,若x１,x２ 是其两根,由 韦达定理可知 x１＋x２＝－p,x１􀅰x２＝q, 即p＝－(x１＋x２),q＝x１􀅰x２． 二、化解疑难 １．(１)先把方程的二次项系数化为１,再在 方程两边都加上一次项系数一半的平方 是配方的关键． (２)用因式分解法解一元二次方程时,一定 要将方程化成一边为０,另一边为两个 一次式的积的形式． ２．运用根与系数的关系确定方程中字母系 数的值时,必须保证两个前提条件:一是 保证方程是一元二次方程,即a≠０;二是 保证这个一元二次方程有两个实数根, 即Δ≥０． ３．(１)利用根与系数的关系既可以确定方 程的两根之和与两根之积的值,也可以 求一些代数式的值,还可以利用它求方 程中字母系数的值．运用时要将已知式 或待求式化成x１＋x２,x１x２ 的形式． (２)运用根与系数的关系确定方程中字母 系数的取值时,需要注意必须要保证方 程是一元二次方程,即二次项系数不能 为０,且 还 要 保 证 方 程 有 实 数 根,即 Δ≥０． 　　　　求一元二次方程的根 判定下列关于x 的方程的根的情况 (其中a为常数),如果方程有实数根,写 出方程的实数根． (１)x２－３x＋３＝０; (２)x２－ax－１＝０; (３)x２－ax＋(a－１)＝０; (４)x２－２x＋a＝０． [解]　(１)∵Δ＝３２－４×１×３＝－３＜０, ∴方程没有实数根． (２)该方程的根的判别式Δ＝a２－４×１× (－１)＝a２＋４＞０,所以方程一定有两个 不等的实数根 x１＝ a＋ a２＋４ ２ ,x２＝ a－ a２＋４ ２ ． (３)由于该方程的根的判别式为 Δ＝a２－４×１×(a－１)＝a２－４a＋４ ＝(a－２)２, 所以,①当a＝２时,Δ＝０,所以方程有两 个相等的实数根x１＝x２＝１; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ 第一篇 ②当a≠２时,Δ＞０,所以方程有两个不 相等的实数根x１＝１,x２＝a－１． (４)由于该方程的根的判别式为 Δ＝２２－４×１×a＝４－４a＝４(１－a), 所以①当Δ＞０,即４(１－a)＞０,即a＜１ 时,方程有两个不相等的实数根x１＝１＋ １－a,x２＝１－ １－a; ②当Δ＝０,即a＝１时,方程有两个相等 的实数根x１＝x２＝１; ③当Δ＜０,即a＞１时,方程没有实数根． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一元二次方程根的判别式 Δ＝b２