2023年中考数学专项训练 —— 旋转

2023年中考数学专项训练 —— 旋转 1、若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； (3)设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2、实践与操作：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角，请根据上述规定解答下列问题： （1）请写出一个有一个旋转角是90°旋转对称图形，这个图形可以是 ； （2）尺规作图：在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写做法）． 3、如图①，是某班放报纸的支架，图②为其示意图，其侧面垂直于地面的支架（含轮子）为AB，弯折的两条支架分别为AD，DC，且CD垂直地面于点C，经测量，，，. （1）求线段AB的长度； （2）将图①的支架AB绕着点A按顺时针方向旋转，且支架DC仍然垂直地面，得到图③，图④为其示意图，问AD从图②的位置到图④的位置这一过程中，绕着点A按逆时针方向旋转了多少度? （结果精确到0.1；参考数据:，，，，，） 4、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．点P在是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，连接AD，BP． （1）观察猜想 当点P在直线AC上时，如图1，线段BP与AD的数量关系是　 　，直线BP与直线AD的位置关系是　 　； （2）拓展探究 当点P不在直线AC上时，（1）中的数量关系和位置关系还成立吗？并就图2的情形说明理由； （3）解决问题 若点M，N分别是AB和AC的中点，点P在直线MN上，请直接写出点A，P，D在同一条直线上时的值． 5、如图，在中，，将弦AB与所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转，点A的对应点为． （1）点O到线段AB的距离是___；____°；当点O落在阴影部分（包括边界）时，的取值范围是___； （2）若线段与优弧ACB的交点为D，当时，点D___AO的延长线上（填“在”或“不在”）； （3）当直线与相切时，求的值并求此时点运动路径的长度． 6、如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点． （1）如图1，若和是等腰三角形，则_________，_________； （2）如图2，若，求出的度数以及的值； （3）在（1）的条件下，，，若把绕点旋转，当时，请直接写出的长度． 7、如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点． （1）求的度数； （2）是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 8、一副三角尺（分别含30°，60°，90°和45°，45°，90°）按如图所示摆放，边OB，OC在直线l上，将三角尺ABO绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当边OA落在直线l上时停止运动，设三角尺ABO的运动时间为t秒． （1）如图，∠AOD＝　 °＝　 　′； （2）当t＝5时，∠BOD＝　 　°； （3）当t＝　 　时，边OD平分∠AOC； （4）若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺DCO也绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺DCO也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOC＝2∠BOD，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 9、如图，△ABC三个顶点为A(3，4)、B(5，4)、C(1，2)．请解答下列问题： (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，使点A1与A对应，点B1与B对应； (2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，使点A2与A对应，点B2与B对应； (3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某直线对称，请直接写出该直线的解析式______________； (4)直接写出△ABC的外心坐标_______________． 10、问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． （1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案） （2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长； （3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点