第04讲 构造法在导数中的应用-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第4讲　导数与构造法 讲义设计提纲： 构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法,通过对数学问题的已知条件和结论进行深入分析,抓住问题的本质特征,恰当地构造辅助元素或数学模型,转化原问题的结构,重组条件和结论之间的关系,产生一种新的结构,通常这种新结构的构思精巧,聅想丰富、思维灵活,通过构造所得新问题的解决出奇制胜地解决了原问题. 构造法是高考中的一个热点内容，同时也是一个难点内容，其常与导数、函数、不等式相结合，考查考生的综合数学素质，下面对在考试中常出现的题型以及解题技巧进行一下总结。 技巧一：根据f（x）与f'（x）的关系构造函数 在导数及其应用的客观题中，有一个热点考察点，即不给出函数的具体解析时，二是给出f（x）与f'（x）的关系式，需根据此条件构造抽象函数，再根据构造函数的单调性解决问题，构造函数的的关键是结合导数的求导法则和的结构特征和具体函数的导函数的特点构造函数。 类型1 利用f(x)与xn构造 例1（1）(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(－1,1) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1) （2）　(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝·f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 【对点演练1】已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　　　；  类型2　利用f(x)与ex构造 例2（1）　(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C. D．(－∞，1) （2）　f（x）为定义在R上的可导函数，且f'（x）＞f（x），对任意正实数a，下列式子一定成立的是 （　　） A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0） C.f（a）＜ D.f（a）＞ 【对点演练1】　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 【对点演练2】已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且满足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，则下列判断一定正确的是（　　） A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0） C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0） 类型3利用f（x）与sin x，cos x构造函数 例3(多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　) A.f＞f B.f＞f C.f＞f D.f＞f 【对点演练1】已知函数f（x）定义在上，f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f'（x）tan x成立，又知f＝，则关于x的不等式f（x）＞sin x的解集是　　　　.  技巧二 变量分离构造函数 例4（1）已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 （　　） A.α＞β B.α2＞β2 C.α＜β D.α＋β＞0 （2）(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 【对点演练1】若ln x－ln y＜－（x＞1，y＞1），则 （　　） A.ey－x＞1 B.ey－x＜1 C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1 【对点演练2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　) A．c<b<a　　　　　　 B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 技巧三 根据数值特点构造函数 例5（1）已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a （2）(2022·新高考Ⅰ卷)设，，，则(    ) A. B. C. D. 【对点演练1】（多选）下面比较大小正确的有 （　　） A.＞ B