第07讲 函数与方程（十一大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第07讲 函数与方程 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解函数的零点与方程的解的联系. （2）理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）了解用二分法求方程的近似解． 2022年天津卷第15题，5分 2021年天津卷第9题，5分 2021年北京卷第15题，5分 从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注． 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【解题方法总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【典例例题】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 【例1】（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【对点训练1】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【例2】（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练5】（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练6】（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________. 【对点训练7】（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________. 【解题总结】 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 【例3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________. 【对点训练8】（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________． 【对点训练9】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是________． 【对点训练10】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是______. 【对点训练11】（2023·天津北辰·统考三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是________． 【对点训练12】（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则___________. 【解题总结】 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.