专题24 正余弦定理及解三角形-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题24 正余弦定理及解三角形 考点一 正弦定理解三角形 考点二 余弦定理解三角形 考点三 判断解的个数 考点四 三角形的面积公式 考点五 判断三角形的形状 考点六 利用正弦定理进行边角互化 考点七 利用余弦定理进行边角互化 考点八 解三角形的实际应用 一、正弦定理 1.正弦定理的内容 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 正弦定理 公式 ，其中为的外接圆的半径. 常见变形 ①； ②； ③； 解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 角边关系 2.三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. ①(h为BC边上的高)； ②； 3.判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 二、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 余弦定理 公式 常见变形 ，， 解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角． 余弦定理与勾股定理的关系 ⇔C为直角； ⇔C为钝角； ⇔C为锐角. 三、三角形中常用结论 1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 2. 大边对大角，大角对大边： 3.，故有①；②； ③；④⑤ 考点一 正弦定理解三角形 例1．（2023春·宁夏银川·高一银川一中校考期中）如图所示，在中，在线段上，，，则边的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得为等边三角形，即可求出，由此求得，利用正弦定理求得. 【详解】在三角形中，所以为等边三角形，所以，则， 在三角形中，由正弦定理得， 所以. 故选：D 例2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）在中，分别是内角所对的边，若，则边（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据正弦定理算出，从而得到，继续用正弦定理求. 【详解】依题意，由正弦定理：得,解得，故或，经检验均符合题意. 当时，则，由正弦定理，得，解得； 当时，则，此时为等腰三角形满足. 综上，或. 故选：D 例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两棵大榕树A，B之间的距离．从B处沿直线走了到达C处，测得，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合正弦定理即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，，则， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 即，解得. 故选:A 例4．（2023春·云南曲靖·高三曲靖市民族中学校考期中）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理可得，根据的范围得出或.分类讨论，根据三角形的内角和定理得出，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，. 因为，，所以或. 当时，， 此时有，所以； 当时，，所以. 综上所述，或. 故选：AB. 例5．（2023·北京·高三专题练习）在中，若，，，则____． 【答案】/ 【分析】先利用商数关系和平方关系求出，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，得，则， 则，所以（负值舍去）， 由，在三角形中易得， 因为，所以. 故答案为：. 考点二 余弦定理解三角形 例6．（2023·天津滨海新·统考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理计算可得； （3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得. 【详解】（1）由余弦定理知，， 所以，即，     解得或（舍负），所以． （2）由正弦定理知，， 所以， 所以． （3）由余弦定理知，，     所以，，     所以 . 例7．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知中，，且边上的中线交于点. (1)求的长; (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用余弦定理直接求解； （2）易知，根据重心的性质求出与，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得, 而，于是, 即，解得. （2）易知，如图，为的重心， 可得, ， ∴. 例8．（2023春·北京·高三清华附中校考期中）在中，，，边上的高为，则（    ） A．2 B．