专题13 中点四边形模型-2022-2023学年数学八年级下学期题型模型期末培优专题练（人教版）

培优专题13 中点四边形 【模型讲解】 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形. ◎结论1：点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形. 如上图： 【证明】 ∵MN∥BD PQ∥BD ∴四边形MNPQ为平行四边形。 如上图 【证明】 ∵MQ∥BD，MQ＝BD PN∥BD，PN＝BD ∴MQ∥PN，MQ＝PN ∴四边形MNPQ为平行四边形 【证明】 ∵MN∥AC,MN＝AC PQ∥AC，PQ＝AC ∴MN∥PQ，MN＝PQ ∴四边形MNPQ为平行四边形 ◎结论2：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 【证明】 由上：平行四边形MNPQ ∵AC∥PQ ∴∠2＝∠1＝90° ∵MQ∥BD ∴∠3＝∠2＝90° ∴MNPQ为矩形. ◎结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 【证明】由上：平行四边形MNPQ ∵MQ＝BD，MN＝AC，BD＝AC ∴MQ＝MN ∴四边形MNPQ为菱形。 ◎结论4：对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。 【证明】由结论3可知对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，所以四边相等，再结合结论2 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以四边形MNPQ为正方形。 1．（2023春·全国·八年级专题练习）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是　　 A．任意一个四边形的中点四边形是菱形 B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形 2．（2017春·山东淄博·九年级校考期中）若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（    ） A．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 3．（2023春·八年级单元测试）下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 3．（2022秋·九年级课时练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，才能保证四边形EFGH是正方形． 4．（2023春·八年级课时练习）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是___________． 5．（2021春·广西桂林·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 6．（2021春·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 7．（2023春·全国·八年级专题练习）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 　 　． （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想． （3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题13 中点四边形 【讲解】 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形. ◎结论1：点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形. 如上图： 【证明】 ∵MN∥BD PQ∥BD ∴四边形MNPQ为平行四边形。 如上图 【