专题23 三角恒等变换-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题23 三角恒等变换 考点一 三角恒等变换的简单应用 考点二 辅助角公式 考点三 给角求值型（综合） 考点四 给值求值型（综合） 考点五 给值求角型（综合） 考点六 三角恒等变换与三角函数性质的结合 考点七 三角恒等变换与图象变换的结合 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） （3）；（4） （5） （6） 二、二倍角公式 （1） （2） （3） 三、公式的常用变形 （1）； （2）降幂公式：；； （3）升幂公式：；；； （4）辅助角公式：，其中， 考点一 三角恒等变换的简单应用 例1．（2023春·山东临沂·高三统考期中）下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】A选项， ，所以A选项正确. B选项， ，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：D 例2．（2023春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知α为第三象限角，. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由诱导公式可求，再由二倍角的余弦公式求解. 【详解】（1） . （2）,则. 所以. 例3．（2023·重庆·统考模拟预测）水滴型潜艇的线型特点是首部呈圆钝的纺锤形，潜艇的横剖面几乎都为圆截面，艇身从中部开始向后逐渐变细，尾部呈尖尾状，小刘利用几何作图软件画出了水滴的形状（如图），由线段和优弧围成，其中连线竖直、与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再结合倍角公式运算求解. 【详解】设优弧的圆心为，半径为，“水滴”的水平宽度、竖直高度分别为、，连接， 由题意可得，解得， 因为，则， 根据对称可得， 所以. 故选：B.    例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，.则__________. 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式结合二倍角的正弦、余弦公式求解即可. 【详解】因为 所以 所以. 故答案为：. 例5．已知是锐角，是钝角，，， (1)求和； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平方关系求得、，再应用差角正余弦公式求值即可； （2）应用二倍角正切公式求值. 【详解】（1）由题设，， ， . （2）由（1）知：，而. 考点二 辅助角公式 例6．（2023春·江苏常州·高三统考期中）（多选）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据三角函数变换结合条件可得，进而，即得. 【详解】因为， 所以，又函数为偶函数， 所以，即， 所以当时的值可以是，，. 故选：BCD. 例7．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，，，且的最小值为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先化简函数解析式，再结合条件，根据函数的周期公式，即可求解. 【详解】， 是函数的最大值，由题意可知，的最小值是个周期， 所以，得. 故选：B 例8．（2023·河南·校联考模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合和差公式和辅助角公式，恒等变形，即可得到本题答案. 【详解】 ， 所以的最大值为1. 故选：A 例9．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）若时，函数取得最小值，则____． 【答案】/ 【分析】利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值. 【详解】（） 时，函数取得最小值， 则，则， 则，解之得 故答案为： 例10．（2023·全国·高一专题练习）化简下列各式： (1). (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简整理；（2）先用诱导公式化简，再利用二倍角公式及辅助角公式合并；（3）利用两角和的正弦公式展开，再利用二倍角公式及辅助角公式合并. 【详解】（1） ， 其中，又因为在第三象限， 所以在第三象限，故，即. （2） ； （3） 考点三 给角求值型（综合） 例11．（2022·全国·高三专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可. 【详解】 故选：A 例12．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断. 【详解】