精品解析：上海市南汇中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

南汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.3 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 直线倾斜角为_________． 2. 抛物线的准线方程为______． 3. 双曲线的焦距为______. 4. 椭圆的离心率为________. 5. 函数在区间上平均变化率等于______． 6. 两直线，的夹角的大小为______．（用反三角函数形式表示） 7. 若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是___________. 8. 设P是椭圆上任意一点，F为C右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______． 9. 已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则______． 10. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为______． 11. 在平面直角坐标系中，已知直线上存在点P，过点P作圆的切线，切点分别为，且，则实数k的取值范围为________. 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似“伯努利双纽线”，在平面直角坐标系中，到两定点，的距离之积等于的点的轨迹C就是一条伯努利双纽线．已知点是双纽线C上的一点，下列说法中正确的序号是______． ①双纽线C关于x轴、y轴对称； ②双纽线C上满足的点P有两个； ③； ④的最大值为． 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知两条直线与不重合，则“与的斜率相等”是“与的平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 圆：与圆：位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15. 直线与曲线的公共点的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、解答题（共5题，总计52分） 17. 已知直线和的交点为P，求以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的标准方程． 18. 如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网． （1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程； （2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）． 19. 已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． （1）设此双曲线经过第一、三象限渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； （2）若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 20. 已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是． （1）请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； （2）若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值； （3）若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由． 21. 如图，已知半圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于E点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将满足的曲线记为“”． （1）求实数、的值； （2）直线与曲线交于M、N两点，在曲线上再取两点S、T（S、T分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积； （3）设点，P是曲线上任意一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.3 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 直线的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】，则，斜率为 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 2. 抛物线的准线方程为______． 【答案】##x=0.25 【解析】 【分析】利用抛物线的方程和准线的关系可求答案. 【详解】因为抛物线，所以其焦点坐标为， 所以准线方程为. 故答案为：. 3. 双曲线的焦距为______. 【答案】 【解析】