精品解析：上海市同济大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

同济一附中2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（1—6题每小题4分，7—12每小题5分，满分54分） 1. 若，是第二象限角，则______． 2. 已知向量，若∥，则______. 3. 若复数 (是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为____ 4. 计算_____________． 5. 已知，则______． 6. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石．验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为______石．（精确到整数） 7. 已知，则______． 8. 若双曲线(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率______． 9. 如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______． 10. 函数的导函数的图像如图所示，以下结论正确的序号是______． （1）是函数的极值点； （2）是函数的极小值点 （3）区间上严格增； （4）在处切线的斜率大于零； 11. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_______． 12. 已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________． 二、选择题（每小题5分，共20分） 13. 在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在的基础上加上（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 16. 已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（满分76分） 17. 已知数列前n项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求的表达式． 18. 已知函数，常数． （1）若函数的图像在点处的切线方程为，求实数的值； （2）求函数的单调区间和极值，说明理由； 19. 某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）． （1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 20. 已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点. （1）求轨迹的方程； （2）求斜率的取值范围； （3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 21. 设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上动点． （1）用t表示点B到点F距离； （2）设，，线段OQ中点在直线FP上，求的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济一附中2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（1—6题每小题4分，7—12每小题5分，满分54分） 1. 若，是第二象限角，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，是第二象限角， 所以. 故答案为： 2. 已知向量，若∥，则______. 【答案】-6 【解析】 【分析】利用向量平行列方程，即可求解. 【详解】因向量，且∥， 所以=， 所以，解得：. 故答案为：-6. 3. 若复数 (是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为____ 【答案】-2 【解析】 【分析】将整理为，根据纯虚数的定义得到方程组，求解得到结果. 【详解】 是纯虚数 本题正确结果： 【点睛】本题考查纯虚数的定义，属于基础题. 4. 计算_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和