6.3三角形的中位线 讲义 2022－2023学年北师大版数学八年级下册　

学科讲义·初中数学·八年级 学科讲义·初中数学·八年级 三角形中位线 三角形中位线的概念 语言叙述 符号语言 图示 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,则DE,DF,EF都是△ABC的中位线 【特别提醒】一个三角形有三条中位线. 易错辨析:三角形的中位线与中线的区别:三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,三角形的中线则是连接三角形某个顶点与该顶点对边中点的线段. 例1.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点E,F分别是AB,BC的中点.以下结论错误的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.AF是△ABC的中位线 C.EF是△ABC的中位线 D.△BEF的周长为6 三角形中位线定理 语言叙述 符号语言 图示 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半 因为DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC(位置关系),DE=¹/₂BC(数量关系) 【特别提醒】 (1)经过三角形一边的中点,平行于另一边的直线必平分第三边. (2)由三角形的三条中位线,可以得到以下结论:①三条中位线组成的三角形,其周长为原三角形周长的一半;②三条中位线将三角形分割成四个全等的三角形;③三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 例2.如图,已知在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F、G分别是AD、AE的中点,且FG=2cm,则BC的长度是 cm. 变式:如图,M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B=( ) A.20° B.45° C.65° D.70° 中点四边形 语言叙述 符号语言 图示 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形 E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH叫做原四边形的中点四边形 【特别提醒】 (1)不论原四边形的形状怎样变化,中点四边形始终是平行四边形.(2)中点四边形的面积是原四边形面积的一半. 例3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形. 如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH. (1)这个中点四边形EFGH的形状是 ; (2)请证明你的结论. 变式:如图,点D是ABC内一点,点E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点 (1)求证:四边形EFGH是平行四边形; (2)已知AD=6,BD=4,CD=3,∠BDC=90°,求四边形EFGH的周长. 多变题型 题型1.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为 . 题型2.已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,且AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点,E、F分别交BD、AC于点G、H.求证:OG=OH. 变式:△ABC的中线BD,CE相交于O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG. 题型3.点E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连接AE分别交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于点O,连接OF. 求证:DE=4OF. 变式:如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,F,E分别是对角线AC,BD的中点. 求证:EF=(BC﹣AD). 题型4.如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=10cm,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,BD的延长线交AC于点F,E为BC的中点,求DE的长. 变式:如图,CD是△ABC的角平分线,AE⊥CD于E,F是AC的中点, (1)求证:EF∥BC; (2)猜想:∠B、∠DAE、∠EAC三个角之间的关系,并加以证明. 随堂练习 1.如图,等边△ABC中,点E、F分别是AB、AC的中点,则∠EFB的度数为( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 2.如图,在△ABC中,E、D、F分别是AB、BC、CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长是( ) A.10 B.20 C.30 D.40 3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,点F是线段DE上的一点.连接AF,BF,∠AFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则△DEF的面积为( ) A.6 B.7.5 C.10 D.12 5.如图,△ABC中,AB=8,AC=6,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,求线段EF的长. 6.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点F在AC上,