2023年中考数学专项训练 —— 垂径定理

2023年中考数学专项训练 —— 垂径定理 1、如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长． 2、已知抛物线经过点，与轴相交于点． （1）求的值； （2）过抛物线的顶点的直线与抛物线的另一个交点为，以线段为直径作圆与轴交于，两点，若，，． ①求抛物线的解析式； ②求的值． 3、如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，连结BC，AC，OD⊥BC于E． (1)问OD与AC平行吗？说明理由． (2)若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径． 4、如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求． 5、如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，且，设，的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 6、已知抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知过原点的直线与该抛物线交于，两点（点在点右侧），该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合）． ①当点A的横坐标是时，若的面积与的面积相等，求点的坐标； ②点，点为抛物线上动点，以线段为直径的圆截定直线所得弦长为定值，求和弦长的值． 7、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径． 8、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E． (1)求证：四边形ADOE是正方形； (2)若AC=2cm，求⊙O的半径． 9、深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响． （1）此次台风会不会影响深圳？为什么？ （2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？ （3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈，cos42°≈，tan42°≈） 10、如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E．⊙O 的切线 BF 与弦 AC 的延长线相交于点 F，且AC=8，tan∠BDC=． （1）求⊙O 的半径长； （2）求线段 CF 长． 11、如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径和AD的长． 12、⊙O是四边形ABCD的外接圆，，OB与AC相交于点H，． （1）求⊙O的半径； （2）求AD的长； （3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD． EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 13、如图1，已知为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 平分 ，于点D，并与⊙O交于点E． (1)求证： 是⊙O的切线； (2)若 ， ，求⊙O的半径； (3)如图2，F为中点，连接 ，在（2）的条件下，求 的长． 14、如图梯形ABCD中AD//BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F. (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若BF=16，OE=6，求AB的值． 15、如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16、在圆O中，直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，＝，求DE的长． 17、尺规作图：如图，是的直径，射线交于点．求作的中点．（保留作图痕迹） 18、如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长. 19、一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m.由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽CD变为1.2m，求水面下降的高度. 20、如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连接BC． （Ⅰ）如图①，若∠P=20°，求∠BCO的度数； （Ⅱ）如图②，过A作弦AD⊥OP于E，连接DC，若OE= CD，求∠P的度数． 21、如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12. 求线段EF的长. 22、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠