2023年中考数学二轮复习解答题专题四十九：与数学文化有关的阅读理解

2023学年二轮复习解答题专题四十九： 与数学文化有关的阅读理解 典例分析 例. （2022郑州二模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下： 命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF=EF． 证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT． ∵DT，BT与⊙O相切 ∴… …，① ∴BT=DT ∵AB是半⊙O的直径，∠ADB=90°，② 在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD， 可得∠H=∠TDH， ∴BT=DT=HT． 又∵DE∥BH，∴=，= ∴= 又∵BT=HT，∴DF=EF． 任务： （1）请将①部分证明补充完整； （2）证明过程中②的证明依据是 ； （3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长． 【答案】（1）见解析； （2）直径所对的圆周角是直角； （3） 【解析】 【分析】（1）通过DT、BT为切线，易得Rt△ODT≌Rt△OBT，从而可以继续证明； （2）直径所对的圆周角是直角； （3）先根据∠EBD=60°，得到∠DBA=30°，由外角得到∠DOC=60°，△ODA为等边三角形，并求出OC、CD，再求出BD、ED，最后再Rt△EBC求出结果即可． 【小问1详解】 如图，连接OD，OT， ∴∠ODT=∠OBT=90°， 在Rt△ODT和Rt△OBT中，， ∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）； 【小问2详解】 直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直径所对的圆周角是直角． 【小问3详解】 如图，连接OD，CE， ∵△BED是等边三角形，∴∠EBD=60°， ∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°， ∴∠DBA=30°，∴∠DOC=60°， ∵OD=OA，∴△ODA为等边三角形， ∵OD=2，CD⊥AB，∴OC=OA=1，DC=， ∴BD=2=BE， ∵OB=2，∴BC=3， 在Rt△EBC中，由勾股定理得： CE=． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的性质、利用相切转化直角并通过勾股定理求出线段是解题的关键． 专题过关 1. （2022济宁中考）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】（1），证明见解析 （2）米 【解析】 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【小问1详解】 （拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 （解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 2. （2022兰州中考）综合与实践 问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，BC相较于点O，即O为圆心． （1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） （2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） （3）拓展探究：小梅进一步研