第21讲：正弦定理 专题讲义-2023届高三数学一轮复习备考

第21讲 正弦定理 一．知识精讲 知识点一：正弦定理 1．正弦定理的内容 在一个三角形中， 和它所对角的 的比相等，即 （为三角形外接 圆的半径）． 2．正弦定理的理解 ①正弦定理适用于任意三角形； ②正弦定理描述了三角形中边与角的一种数量关系； ③正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式，实际上是三个边角的关系式． 3．正弦定理的证明 正弦定理的证明 4．正弦定理的变形 正弦定理有几种常见变形，在解题中要灵活运用，即： 形式1：（为外接圆的直径）； 形式2：（角到边的转换）； 形式3：（边到角的转换）； 形式4：；（边角互换）； 形式5：． 正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，能够将三角形中边之间的关系转化为角之间的关系，也能将角之间的关系转化为边之间的关系，这是正弦定理的灵魂． 知识点二：任意三角形的面积公式 1．任意三角形的面积公式 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半． 2．任意三角形面积公式的证明 【证明】（1）当为锐角三角形时， 作，垂足为,则, 又． ． 同理． =． （2）当为钝角三角形时， 【证明】不妨设为钝角，如图所示，过点作边上的高线，则, ． 同理:． ． （3）当为直角角三角形时， 易得 ． 二．经典例题 题型一：利用正弦定理解三角形 1．已知两角及一边解三角形 【例1】（1）在中，已知，解三角形． （2）在中，，求的值及三角形外接圆的半径． 【变式】的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 2．已知两边及其中一边对角解三角形 【例2】三角形中，，求和． 【变式1】在三角形中，已知下列条件，解三角形． （1）； （2）； （3）． 【变式2】在下列中，根据下列条件解三角形． （1）； （2）． 题型二：利用正弦定理判断三角形形状 1． 化边为角 （1）判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等边三角形，等腰三角形，等腰直角三角形等． （2）已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三条边之间的关系，再给出判断． 【例3】（1）在中，已知，试判断的形状． （2） 已知，判断的形状． 【变式】根据下列条件，判断三角形的形状． （1）(是三角形的外接圆半径)； （2）． 2．化角为边 【例4】在中，若，且，试判断的形状． 【变式】在中，，则是（ ） A． 直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型三：利用正弦定理判断三角形个数 在中，已知和，解三角形． （）当为锐角时，如下图所示： 　 　无解 一解 　 两解 一解 （）当为直角或钝角时，如下图所示： 无解 一解 无解 一解 【例5】下列关于三角形的说法正确的是（ ） A．若，，，则有两解 B．若，，，则只有一解 C．若，，，则有两解 D．若，，，则无解 【变式】不解三角形，判断下列题解的个数． （1）； （2）． 【拓展】在中，角所对边分别为．，，记．若函数(是常数)只有一个零点，则实数的取值范围是( )． A． B． C． D． 题型四：最值与范围 利用正弦定理处理边或角的最值问题的一般思考方法： （1）根据题意或者几何图形理清三角形中变量关系，并选择基本变量的变化范围; （2）将待求范围的变量，依三角形中的正弦定理转化或者化简为基本变量的三角函数关系式； （3）依三角函数的界值或者单调性与基本变量的取值范围求出待求量的最值或者范围． 【例6】设锐角的内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）求的取值范围． ． 题型五：正弦定理的综合应用 正弦定理的作用是能够进行边角互化，应用这个可以根据条件判断三角形的形状或证明三角形中的相关等式，但是要注意三角形和三角函数的有关知识，挖掘三角形中的几个隐含条件． （1）在中， ． （2）在中，, （3）若为锐角三角形，则 （4）若为锐角三角形，则，，， ; （5）三角形射影定理：在中，． 【例7】在中，已知． （1）求证：； （2）若求的值． 【变式】在中，内角的对边分别为，已知，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【拓展】设的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大