第04讲 指数与指数函数（四大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 指数与指数函数 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 1、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【解题方法总结】 1、指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 【典例例题】 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（    ） A． B． C． D． 【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______． 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________. 【解题总结】 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 题型二：指数函数的图像及性质 【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______． 【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______ 【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．8 B．24 C．4 D．6 【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（    ） A．当，则这期间人口数呈下降趋势 B．当，则这期间人口数呈摆动变化 C．当时，的最小值为3 D．当时，的最小值为3 【对点训练14】（多选题）（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（    ） A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 【解题总结】 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从