2023年中考数学复习挑战压轴题之菱形存在性问题

2023年中考数学复习挑战压轴题之菱形存在性问题 【方法解读】 A，B为定点，C为直线l上一点，D为平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形． 作图找点： ①情况一：AB为边时，如图①，以点B为圆心，AB长为半径画⊙B交l于点C，再分别过点A，C作BC，AB的平行线确定点D； 如图②，以点A为圆心，AB长为半径画⊙A交l于点C，再分别过点B，C作AC，AB的平行线确定点D； ②情况二：AB为对角线时，如图③，作AB的垂直平分线交l于点C，再画⊙O确定点D． 求解方法： (1)定线段是边时，常先设点，再根据边相等列方程求解； (2)定线段为对角线时，一般先求出中心点坐标，再利用对角线互相垂直确定另一对角线所在直线解析式，然后根据动点的运动轨迹，联立解析式求解． 方法突破练 1．在如图的方格中，有格点A，B，确定两组格点C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，请通过作图找出符合要求的点C，D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A(－4，0)，B(0，3)，点M为x轴上一动点，点N为平面内一动点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点N的坐标． 3．如图，抛物线y＝x2－2x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．D为点C下方y轴上一点，P为直线BC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使得以C，D，PQ为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 设问提升练 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)交x轴于B(－6，0)，C(－1，0)两点，交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式 【思维点拨】将点B，C的坐标代入y＝ax2＋bx－4中，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； (2)若点D为y轴上一点，K为平面直角坐标系内任意一点，当以B，C，D，K为顶点的四边形是以BC为边的菱形时，求点D的坐标； 【思维点拨】由点B、C的坐标求出BC的值，利用BC＝CD列方程求解即可； (3)若点H是平面内任意一点，在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维点拨】要求点P的坐标，根据菱形对角线互相垂直平分，知PH⊥OB，且平分OB，故可确定点P的横坐标，代入抛物线解析式即可； (4)若点M为抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维点拨】设出点M的坐标，要使以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，需分两种情况讨论：①以AB为对角线；②以AB为边：a．AM＝AB，b．BM＝AB； (5)连接AB，交抛物线对称轴于点F，点G为x轴上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以A，F，G，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思维点拨】设出点G的坐标，要使以A，F，G，Q为顶点的四边形是菱形，需分两种情况讨论：①以AF为对角线；②以AF为边：a．AG＝AF，b．FG＝AF．设出点M的坐标，再利用线段等量关系列方程即可求解． 综合强化练 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，且点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，AB＝4，与y轴交于点C，直线y＝－x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点P为BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交直线BC于点E，作PF/y轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； (3)在(2)的条件下，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C，点C关于对称轴对称的点为M(2，m)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为AM上方抛物线上一动点 ①求出当△APM面积最大时，点P的坐标； ②在①的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，若点Q是直线AM上一点，点S是平面直角坐标系中一点，是否存在这样的点Q和点S，使以点Q，A，E，S为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点S