专题4.7 极值点偏移问题-备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

专题4.7 极值点偏移问题 题型一 对称变换法 题型二 差值代换法 题型三 比值代换法 题型四 对数均值不等式 题型一 对称变换法 例1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，a为实数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明： 练习1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 练习2．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明. 练习3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和最大值； (2)设函数有两个零点，证明：． 练习4．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 练习5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当时，若，求证： 题型二 差值代换法 例3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 例4．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 练习6．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）已知函数． (1)若函数为增函数，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点、．求证：． 练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数） (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：. 练习8．（2022春·全国·高二期末）设函数（）． (1)当时试讨论函数f(x)的单调性； (2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明． 练习9．（2022春·全国·高二期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象与的图象交于，两点，证明：. 练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)求证：当时，； (2)当方程有两个不等实数根时，求证： 题型三 比值代换法 例5．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 例6．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值． 练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：； (3)设函数的两个零点、，求证：. 练习12．（2022秋·福建宁德·高三校考期中）已知函数． (1)讨论的零点个数． (2)若有两个不同的零点，证明：． 练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（e为自然对数的底数） (1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值； (2)若，方程有两个根，（），求证：． 练习14．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，，其中为自然对数的底数． (1)若有两个极值点，求的取值范围； (2)记有两个极值点为、，试证明：． 练习15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 题型四 对数均值不等式 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②； (2)设.若存在两个不同的极值点、，证明. 参考数据：， 例8．（2022春·四川南充·高二统考期末）设函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：． 练习16．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若存在，且当时，，证明：． 练习17．（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，. (1)求证：，； (2)若存在、，且当时，使得成立，求证：. 练习19．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：. 练习2