3-7 解三角形及其应用举例 (精讲）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

3-7 解三角形及其应用举例 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题． 3-7 解三角形及其应用举例 1 一、主干知识 1 考点1：测量中的几个有关术语 2 二、分类题型 3 题型一 解三角形的应用举例 3 命题点1　距离问题 3 命题点2　高度问题 5 命题点3　角度问题 7 题型二 解三角形中的最值和范围问题 13 三、分层训练：课堂知识巩固 17 一、主干知识 考点1：测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 二、分类题型 题型一 解三角形的应用举例 命题点1　距离问题 【例题精析1】 故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为，冬至前后正午太阳高度角约为．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（    ） A．3 B．4 C． D． 【解答】如图,根据题意得, 所以,所以在,由正弦定理得,即,解得,所以在中,,即, 解得 .故选：C 【例题精析2】 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（    ） A． B．2 C．3 D．2 【解答】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2， 则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°， 则有＝，变形可得BC＝＝＝， 在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°， 则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3．故选：. 命题点2　高度问题 【例题精析3】 圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A． B． C． D． 【解答】由题意知：，所以 在中，， 在中，由正弦定理得 所以 ， 在中， 故选：D 【例题精析4】 如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（    ） A． B． C． D． 【解答】依题意，在中，，则m， 在中，，则m， 在中，，由余弦定理得：， 即，解得m，即有， 所以他的步行速度为.故选：D 命题点3　角度问题 【例题精析5】 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A． B． C．－1 D．－1 【解答】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.故选：C 【例题精析6】 一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 【解