3-6 正弦定理、余弦定理 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

3-6 正弦定理、余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 3-6 正弦定理、余弦定理 1 一、主干知识 1 考点1：正弦定理与余弦定理 1 考点2：三角形中常用的面积公式 2 【常见结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 4 题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用 9 命题点1　三角形形状判断 9 命题点2　三角形的面积 10 命题点3　与平面几何有关的问题 14 三、分层训练：课堂知识巩固 19 一、主干知识 考点1：正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)asin B ＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 考点2：三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 【常见结论总结】 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 1.方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 二、分类题型 题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 【例题精析1】 （2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【解答】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得， 因为，所以，即．又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则，即， 而，即，故有，从而． 由，即，即，即，故，即， 又，所以，则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得．故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得．在中，． 在中．因为，所以， 整理得．又因为，所以，即或．下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以．以向量为基底，有． 所以，即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得，所以④ 联立③④，得．所以或．下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，，即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量