3-4 三角函数的图像与性质 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

3-4 三角函数的图像与性质 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质． 3-4 三角函数的图像与性质 1 一、主干知识 1 考点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 2 考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 2 （1）最小正周期：. 2 （2）定义域与值域： 2 （3）最值 2 （4）对称轴与对称中心. 3 （5）单调性. 3 （6）平移与伸缩 4 【常用结论总结】 4 二、分类题型 5 题型一 三角函数的定义域和值域 5 题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 8 题型三 三角函数的单调性 11 命题点1　求三角函数的单调区间 11 命题点2　根据单调性求参数 13 三、分层训练：课堂知识巩固 15 一、主干知识 考点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 【常用结论总结】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 二、分类题型 题型一 三角函数的定义域和值域 【例题精析1】 函数在上的值域为______． 【解答】，则，于是，所以所求值域为. 故答案为： 【例题精析2】 求的最小值是_____ 【解答】, 令,, 当,.故答案为: 【例题精析3】 若，则的取值范围是______. 【解答】由题意， ，而，则， 当时，解得或；当时，解得， 综上：.故答案为：. 【例题精析4】 函数的定义域是__________. 【解答】由，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 【例题精析5】 函数的值域为______． 【解答】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. (1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法 ①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． ②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 【对点精练1】 函数的值域是__________． 【解答】，因为 所以函数的值域为.故答案为：. 【对点精练2】 函数的值域为______. 【解答】， ，则，，故.故答案为： 【对点精练3】 函数的定义域为________． 【解答】由，得，， 在数轴上表示如图所示， 所以， 故答案为：． 【对点精练4】 函数在上的值域为__________． 【解答】由，可得， 根据正切函数的性质，可得， 即函