3-2 同角三角函数基本关系及诱导公式 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

3-2 同角三角函数关系式及诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.掌握诱导公式，并会简单应用． 3-2 同角三角函数关系式及诱导公式 1 一、主干知识 2 考点1：同角三角函数的基本关系 2 考点2：三角函数诱导公式 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 同角三角函数基本关系 3 题型二 诱导公式 6 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 9 三、分层训练：课堂知识巩固 11 一、主干知识 考点1：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 考点2：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【常用结论总结】 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 二、分类题型 题型一 同角三角函数基本关系 【例题精析1】 已知为第二象限角，且，则______，_____． 【解答】因为为第二象限角，且，所以， .故答案为：；. 【例题精析2】 若，则________． 【解答】对待求表达式分子分母同时除以，即. 故答案为： 【例题精析3】 已知，且，则_________ 【解答】解法1、因为，则， 解得或，又因为，所以， 所以． 解法2、因为，可得， 所以， ， 所以且， 解得，，所以．故答案为：. (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 【对点精练1】 我圆古代数学家赵爽在注解《周牌算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解答】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为， 因为是直角三角形较小的锐角，所以， 可得， 则， 即，所以，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 【对点精练2】 如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【解答】因为角的终边在直线上，所以. 所以.故选：B. 【对点精练3】 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解答】因为，所以，即，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以.故选：B. 【对点精练4】 已知为锐角，满足，则________． 【解答】因为， 整理得，解得或， 又因为为锐角，则，所以. 故答案为：2. 题型二 诱导公式 【例题精析4】 已知，则___． 【解答】因为， 所以．故答案为：． 【例题精析5】 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【解答】（1）由题知角终边经过点，则， ∴，， 故. （2）由（1）知， 则， 故. (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数． 【对点精练5】 已知. (1)化简； (2)若为第四象限角，且，求的值. 【解答】（1）由三角函数诱导公式知： . （2）为第四象限角，且，则， 可得. 【对点精练6】 等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角．根据这些信息，可求得的值为（    ） A． B． C． D． 【解答】由图形知，则，所以， ，.故选：A 【对点精练7】 如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为，OP绕O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，角的终边在OQ上，则（    ） A．B．C．D． 【解答】由三角函数定义可知， 又为第一象限角，所以； 又，所以,. 故A，B错误； 因为，所以， 所以. . 故C错误，D正确；故选：D 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【例题精析6】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)．