3-1 任意角和弧度制、三角函数的概念 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

3-1 任意角和弧度制、三角函数的概念 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 3-1 任意角和弧度制、三角函数的概念 1 一、主干知识 1 考点1：角的概念 1 考点2：弧度制的定义和公式 2 考点3：任意角的三角函数 2 二、分类题型 3 题型一 角及其表示 3 题型二 弧度制及其应用 6 题型三 三角函数的概念 9 三、分层训练：课堂知识巩固 11 一、主干知识 考点1：角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 考点2：弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式： 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α． 考点3：任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数 1.定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝． 2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）． (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 二、分类题型 题型一 角及其表示 【例题精析1】 已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，下列四个命题： ①；②；③；④ 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【解答】因为集合第一象限的角，锐角，小于的角， 则，，但、无包含关系，故①②③④均错.故选：A. 【例题精析2】 下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【解答】因为，所以角与角的终边相同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同.故选：B 【例题精析3】 下列命题中，正确的是（　　） A．终边相同的角是相等的角 B．终边在第二象限的角是钝角 C．若角的终边在第一象限，则的终边也一定在第一象限 D．终边落在坐标轴上的所有角可表示为 【解答】终边相同的角有无数个，比如，与角终边相同的角为，故不一定相等，选项A错误；终边在第二象限的角可能是，（是钝角），故不一定是钝角，即选项B错误； 若角的终边在第一象限，如，则的终边在第二象限，故选项C错误； 终边落在坐标轴上的角为以及与它们终边相同的所有角，故可表示为，选项D正确. 故选：D. (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 【对点精练1】 下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；因为，故C正确；对于选项D：因为， 则与终边不相同，故D错误；故选：C. 【对点精练2】 下列说法正确的是（    ） A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 【解答】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误；对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误；对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误； 对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确；故选：D. 【对点精练3】 若，且，则角是第（    ）象限角． A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 【解答】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角 所以为第三象限角，即， ， 为第二或第四象限角. 故选：D. 【对点精练4】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图). 【解答】解：图1所表示的角的集合：． 图2终边落在阴影部分的角的集合． 题型二 弧度制及其应用 【例题精析4】 化为角度是（    ） A． B． C． D． 【解答