专题01 空间向量与立体几何 18大题型77题（期中专项训练）高二数学上学期人教B版

专题01 空间向量与立体几何 基础·固本强基 题型1 空间向量的加减与数乘运算（重点） 题型2 共线向量定理与共面向量定理 题型3 空间向量基本定理与基底（重点） 题型4 空间向量的数量积运算（重点） 题型5 空间坐标系与坐标运算（重点） 题型6 模与夹角的坐标计算（重点） 提升·融会贯通 题型1 直线的方向向量与平面的法向量（重点） 题型2 用向量证明平行（重点） 题型3 用向量证明垂直（重点） 题型4 异面直线所成角 题型5 直线与平面所成角（重点） 题型6 二面角（重点） 拔高·压轴突破 题型1 点面距离与等体积法（重点） 题型2 动点与轨迹问题（重难点） 题型3 由空间角求参数（重难点） 题型4 折叠问题（重难点） 题型5 空间向量与最值、范围（重难点） 题型6 立体几何综合压轴（建系大题）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 空间向量的加减与数乘运算（共5小题） 【模型】认"链"——加减抓首尾相接，减法共起点；数乘只改变长度与方向，不改变"平行"关系。 【步骤】① 把目标向量沿几何体的棱"走"一遍（首尾相接）；② 中点用系数 ；③ 化简后代回检验方向是否合理。 【易错】减法 ，结果指向被减向量的起点，别写反。 1．如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（　　） A．　　B． C．　　D． 2．如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（　　） A．　　　B． C．　　D． 3．在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 4．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（　　） A．　　B．2　　C．0　　D． 5．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型2 共线向量定理与共面向量定理（共4小题） 【模型】共线找 ，共面看"能否用两个不共线向量线性表示"——能表示就共面，表示式不唯一。 【步骤】① 证共线：设 （），对比系数解 ；② 证共面：把向量用两个不共线向量表示，检验系数和是否为 1；③ 逆用定理可求参数。 【易错】使用共线向量定理必须写明 这一前提；系数和为 1 是四点共面的充要条件，前提是两基底向量不共线。 6．已知向量，，若与共线，则实数x的值为（　　） A．6　 　B．　 　C．3 　　D． 7．(25-26高二上·辽宁七校协作体·期中)已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）.（　　） A．9　 　B．10　 　C．11　　 D．12 8．（多选）已知向量，若共面，则的值可以是（　　） A．　　B．　　C．　　D．2 9．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 题型3 空间向量基本定理与基底（共4小题） 【模型】基底三问：共线吗？共面吗？表示唯一吗？——不共面的三个向量才是空间基底。 【步骤】① 判断基底：三个向量不共面（先排共线，再排共面）；② 用基底表示：把目标向量沿三条"棱"分解；③ 混合运算时先统一基底再对比系数。 【易错】基底表示是唯一的，对比系数时可列方程组求解；零向量不能作基向量。 10．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　） A．，，　　 B．，， C．，，　　 D．，， 11．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（　　） A．0　 　B．5　 　C．9 　　D． 12．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（　　） A．　 　B．　　 C．　 　D． 13．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型4 空间向量的数量积运算（共4小题） 【模型】求数量积先"定模、定角"——夹角必须在 内取值，向量方向决定符号。 【步骤】① 写出 ；② 求模用 展开；③ 证垂直即证数量积为零。 【易错】 时夹角为锐角或零角，不一定是锐角；数量积没有除法，不能约去公共向量。 14．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 15．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)空间向量在上的投影向量为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（　　） A．　　B．平面 C．向量与的夹角是　　D．直线与所成角的余弦值为 17．如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（　　） A．1　　 B．　　 C．2　 　D． 题型5 空间坐标系与坐标运算（共4小题） 【模型】建系三原则：两两垂直、右手系、顶点当原点——坐标中零不能漏。 【步骤】① 选两两垂直的三条线为坐标轴（常用正方体/长方体从一个顶点出发的三条棱）；② 写出各点坐标；③ 加减、数乘对应坐标运算，中点取平均。 【易错】写在坐标面上的点相应坐标为 0，最易漏；起点指向终点的顺序别写反。 18．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（　　） A．　 　B．　　 C．　 　D． 19．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 20．已知向量，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)设空间向量，则（　　） A．6　 　B．9　 　C．-6　 　D．-9 题型6 模与夹角的坐标计算（共4小题） 【模型】模用平方和，夹角用"点积比模积"——算完夹角别忘了取值范围 。 【步骤】① ；② ；③ 由垂直条件列方程求参数。 【易错】坐标公式 中对应位置相乘再求和，别交叉相乘。 22．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)平行六面体，其中，，，，，，则的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 23．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（　　） A．　　 B．　 　C．3　 　D．5 24．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)已知空间向量，若，则（　　） A．4　 　B．8　 　C．12　 　D．16 25．在三棱柱中，的外心为,则的长为__________. 提升·融会贯通 题型1 直线的方向向量与平面的法向量（共4小题） 【模型】方向向量管直线，法向量管平面——法向量与面内任意向量垂直。 【步骤】① 方向向量：取直线上两点的坐标差；② 法向量：设 ，由 且 （、 为面内两不共线向量）解出并赋一个方便值；③ 检验与两向量垂直。 【易错】法向量不唯一，互相平行的都可用；赋值时避免分数，取整数最方便。 26．(25-26高二上·辽宁阜新市部分重点高中·期中)已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（　　） A．平行　 　B．垂直　 　C．直线在平面内　　 D．相交但不垂直 27．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（　　） A．4　 　B．1　 　C．　 　D． 28．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（　　） A．3　　B．　　C．1　　D． 29．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以 为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 题型2 用向量证明平行（共4小题） 【模型】平行三句话：线线看共线，线面看点积为零（加"线在面外"），面面看法向量共线。 【步骤】① 建系写出相关向量坐标；② 线线平行：证 ；③ 线面平行：证 且说明直线不在平面内；④ 面面平行：证 。 【易错】证线面平行只算 不够，必须补一句"直线 "，否则不完整。 30．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)（多选）在直三棱柱中，，，E，F分别是BC，的中点，D在线段上，则（　　） A．平面 B．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 D．直三棱柱的外接球半径为 31．（多选）如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为　　D．点到平面AEF的距离为2 32．（多选）如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（　　） A．直线与平行　　B．四面体的体积为定值 C．点到平面的距离为　　D．异面直线与所成的角为 33．（多选）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（　　） A．　　B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为　　D．点到平面与平面的距离和为定值 题型3 用向量证明垂直（共4小题） 【模型】垂直三句话：线线看数量积为零，线面看方向向量与法向量共线，面面看法向量垂直。 【步骤】① 建系写出向量坐标；② 线线垂直：证 ；③ 线面垂直：证 （ 为法向量）；④ 面面垂直：证 。 【易错】数量积为零说明垂直，但坐标计算中负号与对应位置易错，逐位核对再下结论。 34．在棱长为1的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项正确的是（　　） A．AD∥平面A1BC1　　 B．三棱锥D­A1BC1的外接球的表面积为 C．DB1⊥平面A1BC1　　 D．三棱锥D­A1BC1的体积为 35．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（　　） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 36．（多选）如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（　　） A．　　B．向量，，共面 C．平面　　D．若，则该平行六面体高为 37．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)（多选）如图，正方体，、、、分别为，，，的中点，则下列选项正确的是（　　） A．直线与直线是异面直线　　B．直线与平面垂直 C．点在线段上运动，则三棱锥的体积是定值　　D．二面角的余弦值为 题型4 异面直线所成角（共5小题） 【模型】异面直线角取"锐角或直角"——方向向量夹角是钝角时必须取补角，余弦取绝对值。 【步骤】① 建系写出两直线的方向向量；② 算 ；③ 由余弦值得角（范围 ）。 【易错】方向向量夹角 对应异面直线角 ；异面直线角不可能取 （那是共线）。 38．长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A．　 　B．　 　C．　 　D． 39．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（　　） A．　　 B．　 　C．　 　D． 40．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（　　） A．　 　B．　 　C．　　 D． 41．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 42．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是___________. 题型5 直线与平面所成角（共4小题） 【模型】线面角用正弦：——与异面直线角的余弦公式区分开。 【步骤】① 求直线的方向向量 与平面的法向量 ；② 算 ；③ 范围 。 【易错】公式左边是正弦不是余弦；线在面内时角为 ，线垂直面时角为 。 43．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A．　 　B．　 　C．　 　D． 44．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 45．已知三棱锥的棱长均为，则直线与底面所成角的余弦值为（　　） A．　 　B．　　 C．　 　D． 46．(25-26高二上·辽宁阜新市部分重点高中·期中)正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 题型6 二面角（共5小题） 【模型】二面角"大小由法向量夹角给出，锐钝由图形说了算"——只算绝对值会丢半边。 【步骤】① 分别求两半平面的法向量 、；② 算 ；③ 结合图形判断二面角是锐是钝，确定余弦值符号。 【易错】法向量夹角与二面角相等或互补，必须回到图形中观察半平面的开口方向，不能默认相等。 47．(25-26高二上·辽宁七校协作体·期中)如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（　　） A．　　 B．　　 C．　 　D． 48．(24-25高二上·辽宁大连市经济技术开发区第一中学·期中)（多选）正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（　　） A．直线与、与所成的角相等　　B．侧棱与底面所成角的正切值为 C．该四棱锥的体积为　　D．该四棱锥的外接球的表面积为 49．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为______. 50．（多选）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（　　） A．直线和所成的角为　 　B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为　　 D．平面与平面夹角的正弦值为 51．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 拔高·压轴突破 题型1 点面距离与等体积法（共4小题） 【模型】距离的本质是最短——向量法用投影公式一步到位，等体积法换顶点化积为高。 【步骤】① 向量法：（ 在平面内任取， 为法向量）；② 等体积法： 解出高；③ 线面距、面面距都转化为点面距。 【易错】公式中的 必须在平面内取点， 在面外，别取反；法向量取短的算起来更方便。 52．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 53．已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 54．在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为______. 55．(24-25高二上·辽宁大连市经济技术开发区第一中学·期中)平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____．______. 题型2 动点与轨迹问题（共4小题） 【模型】轨迹问题先"翻译条件"——等距、定比、垂直都可以化为坐标方程或几何特征。 【步骤】① 设动点坐标 ；② 把条件翻译成坐标等式（如 ）；③ 化简得轨迹特征（直线、圆、线段等）。 【易错】动点在棱、面内运动时，轨迹只是完整曲线的一段，别把范围写多。 56．(25-26高二上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（　　） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为5 57．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)（多选）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（　　） A．EF//平面BB₁D₁ B．当G是B₁C₁的中点时， A₁C⊥平面 EFG C．当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为 D．当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大 58．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为3，E为棱的中点，点P，M是平面内两个动点，，，则线段长的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 59．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 题型3 由空间角求参数（共5小题） 【模型】把"角已知"翻译成向量方程——正弦、余弦、垂直、共线各有各的等式，解方程即得参数。 【步骤】① 写出含参数的方向/法向量；② 按角的公式列等式（垂直用点积为零，角用余弦/正弦公式）；③ 解方程并检验范围。 【易错】由余弦值求参数可能有两解，注意夹角范围对解的筛选；正弦相等时余弦可能差一个符号。 60．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（　　） A．2　 　B．-2　 　C．　 　D．6 61．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 62．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（　　） A．　 　B．　 　C．　 　D． 63．已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为______. 64．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（　　） A．1　　B．2　　C．　　D．6 题型4 折叠问题（共4小题） 【模型】折叠抓"变与不变"——折痕同侧的量不变，跨折痕的角与距离要重算。 【步骤】① 折前先标出不变的线段长与垂直关系；② 折后建系（常以折痕上的垂线为坐标轴）；③ 用向量计算目标量。 【易错】折叠后原平面内的垂直关系只有与折痕相关或同侧的才保留，跨侧的垂直一般被破坏。 65．在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A．　　 B．　 　C．　 　D． 66．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（　　） A．　 　B．　 　C．　　 D． 67．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 68．(25-26高二上·辽宁阜新市部分重点高中·期中)如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（　　） A．　　 B．　 　C．　　 D． 题型5 空间向量与最值、范围（共4小题） 【模型】距离最值抓"垂直"，参数范围抓"方程有解"——把几何最值化为一元函数或二次型。 【步骤】① 动点坐标化，目标量写成参数的函数；② 求二次函数最值或用配方法；③ 注意动点范围对自变量的限制。 【易错】最值点必须落在动点的允许范围内，区间端点与顶点都要比较。 69．三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 70．(25-26高二上·辽宁朝阳市朝阳联盟·期中)（多选）已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则平面 C．平面与平面夹角的大小与，，都有关 D．若，则点P到平面的距离是 71．（多选）已知正四面体的棱长为，点，分别为和的重心，为线段上一动点，则下列结论正确的是（　　） A．若取得最小值，则　　 B．若，则平面 C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为　　 D．直线到平面的距离为 72．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)（多选）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（　　） A．无论M，N在何位置，为异面直线　　B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面　　D．AP与平面所成角的正弦最大值为 题型6 立体几何综合压轴（建系大题）（共5小题） 【模型】压轴大题套路：证垂直给建系依据→设参写坐标→算向量→套公式，一步不落。 【步骤】① 先证线面垂直，为建系提供依据；② 建系写出全部关键点坐标；③ 按设问依次计算角、距离、参数；④ 结论回代检验。 【易错】坐标写错一步全盘皆输——先列点再算向量；求出的角注意用反三角正确表示。 73．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 74．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知三棱锥，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A．　　 B． 　　C．　 　D． 75．（多选）在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（　　） A．　　 B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为　　 D．存在实数、使得 76．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（　　） A．的长度的最大值为 B．若平面，则 C．平面截正方体所得截面的周长为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 77．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． $专题01 空间向量与立体几何 基础·固本强基 题型1 空间向量的加减与数乘运算（重点） 题型2 共线向量定理与共面向量定理 题型3 空间向量基本定理与基底（重点） 题型4 空间向量的数量积运算（重点） 题型5 空间坐标系与坐标运算（重点） 题型6 模与夹角的坐标计算（重点） 提升·融会贯通 题型1 直线的方向向量与平面的法向量（重点） 题型2 用向量证明平行（重点） 题型3 用向量证明垂直（重点） 题型4 异面直线所成角 题型5 直线与平面所成角（重点） 题型6 二面角（重点） 拔高·压轴突破 题型1 点面距离与等体积法（重点） 题型2 动点与轨迹问题（重难点） 题型3 由空间角求参数（重难点） 题型4 折叠问题（重难点） 题型5 空间向量与最值、范围（重难点） 题型6 立体几何综合压轴（建系大题）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 空间向量的加减与数乘运算（共5小题） 【模型】认"链"——加减抓首尾相接，减法共起点；数乘只改变长度与方向，不改变"平行"关系。 【步骤】① 把目标向量沿几何体的棱"走"一遍（首尾相接）；② 中点用系数 ；③ 化简后代回检验方向是否合理。 【易错】减法 ，结果指向被减向量的起点，别写反。 1．如图，在平行六面体中,为的中点，则用向量可表示向量为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2．如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（　　） A．　　　B． C．　　D． 【答案】B 【详解】因为三棱锥中，，，，且点N为BC中点，点M满足， 所以故选：B 3．在四棱锥中，底面是平行四边形，是对角线的交点.用基底表示，正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【详解】如图， 由题意，得. 故选：C. 4．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（　　） A．　　B．2　　C．0　　D． 【答案】B 【详解】如题图，由， 而，且，，不共面，所以，，， 所以， 故选：B. 5．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】在正四面体ABCD中，连接并延长交于，由O为的重心，得是的中点， 而M为棱BD的中点，则. 故选：A 题型2 共线向量定理与共面向量定理（共4小题） 【模型】共线找 ，共面看"能否用两个不共线向量线性表示"——能表示就共面，表示式不唯一。 【步骤】① 证共线：设 （），对比系数解 ；② 证共面：把向量用两个不共线向量表示，检验系数和是否为 1；③ 逆用定理可求参数。 【易错】使用共线向量定理必须写明 这一前提；系数和为 1 是四点共面的充要条件，前提是两基底向量不共线。 6．已知向量，，若与共线，则实数x的值为（　　） A．6　　B．　　C．3　　D． 【答案】D 【详解】因为 与 共线，所以存在实数 使 ，即 ．由 得 ，于是 （第三分量 ，吻合）． 故选：D． 7．(25-26高二上·辽宁七校协作体·期中)已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）.（　　） A．9　　B．10　　C．11　　D．12 【答案】B 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 8．（多选）已知向量，若共面，则的值可以是（　　） A．　　B．　　C．　　D．2 【答案】BC 【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得， 即， 则，解得. 故选：BC. 9．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 题型3 空间向量基本定理与基底（共4小题） 【模型】基底三问：共线吗？共面吗？表示唯一吗？——不共面的三个向量才是空间基底。 【步骤】① 判断基底：三个向量不共面（先排共线，再排共面）；② 用基底表示：把目标向量沿三条"棱"分解；③ 混合运算时先统一基底再对比系数。 【易错】基底表示是唯一的，对比系数时可列方程组求解；零向量不能作基向量。 10．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　） A．，，　　 B．，， C．，，　　 D．，， 【答案】ABD 【详解】对于A，假设共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以不共面，能构成空间的一个基底，所以A符合题意； 对于B，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，该式显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底. 对于C，假设共面，则存在不全为0的实数， 使得，则，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，所以C不符合题意； 对于D，若共面，则存在不全为0的实数， 使得，则，该方程组无解， 所以不共面，能构成空间的一个基底，所以D符合题意. 故选：ABD. 11．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（　　） A．0　　B．5　　C．9　　D． 【答案】D 【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时，，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且， 即，解得. 故选：D 12．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得，，解得. 故选：C. 13．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】当时，， 假设，显然无解， 则不共面，A不符合题意； 假设， 则， 当时，方程组为，，解得， 故，则共面，B符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，D不符合题意. 故选：B． 题型4 空间向量的数量积运算（共4小题） 【模型】求数量积先"定模、定角"——夹角必须在 内取值，向量方向决定符号。 【步骤】① 写出 ；② 求模用 展开；③ 证垂直即证数量积为零。 【易错】 时夹角为锐角或零角，不一定是锐角；数量积没有除法，不能约去公共向量。 14．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 15．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)空间向量在上的投影向量为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意得， 则向量在上的投影向量为. 故选：D． 16．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（　　） A．　　B．平面 C．向量与的夹角是　　D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】设 ，，，则 ，且 ． 对于 A，，，故 ，A 错误； 对于 B，，，，，故 平面 ，B 正确； 对于 C，，，且 ，故 ，夹角为 ，C 错误； 对于 D，，，即 ；，，故 ，D 错误． 故说法不正确的是 ACD． 17．如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（　　） A．1　　B．　　C．2　　D． 【答案】B 【详解】由题平行六面体中，M为AC与BD的交点，，，，， 所以故选：B 题型5 空间坐标系与坐标运算（共4小题） 【模型】建系三原则：两两垂直、右手系、顶点当原点——坐标中零不能漏。 【步骤】① 选两两垂直的三条线为坐标轴（常用正方体/长方体从一个顶点出发的三条棱）；② 写出各点坐标；③ 加减、数乘对应坐标运算，中点取平均。 【易错】写在坐标面上的点相应坐标为 0，最易漏；起点指向终点的顺序别写反。 18．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】关于轴的对称点为，关于平面的对称点为， 则. 故选：B 19．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为点，，所以线段的中点坐标是，即. 故选：B 20．已知向量，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】依题意，. 故选：C 21．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)设空间向量，则（　　） A．6　　B．9　　C．-6　　D．-9 【答案】B 【详解】因为，所以，解得故选：B. 题型6 模与夹角的坐标计算（共4小题） 【模型】模用平方和，夹角用"点积比模积"——算完夹角别忘了取值范围 。 【步骤】① ；② ；③ 由垂直条件列方程求参数。 【易错】坐标公式 中对应位置相乘再求和，别交叉相乘。 22．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)平行六面体，其中，，，，，，则的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】解：如图， 可得， 故．． 故选：A 23．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（　　） A．　　B．　　C．3　　D．5 【答案】A 【详解】在平行六面体中，取为空间的一个基底， 由，，得，，而， 因此. 故选：A 24．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)已知空间向量，若，则（　　） A．4　　B．8　　C．12　　D．16 【答案】C 【详解】由已知得，则， 即，可得，因此. 故选：C. 25．在三棱柱中，的外心为,则的长为__________. 【答案】 【详解】设,由题意知,则,得,得, 因为, 所以. 故答案为：. 提升·融会贯通 题型1 直线的方向向量与平面的法向量（共4小题） 【模型】方向向量管直线，法向量管平面——法向量与面内任意向量垂直。 【步骤】① 方向向量：取直线上两点的坐标差；② 法向量：设 ，由 且 （、 为面内两不共线向量）解出并赋一个方便值；③ 检验与两向量垂直。 【易错】法向量不唯一，互相平行的都可用；赋值时避免分数，取整数最方便。 26．(25-26高二上·辽宁阜新市部分重点高中·期中)已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（　　） A．平行　　B．垂直　　C．直线在平面内　　D．相交但不垂直 【答案】D 【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量， 所以， 所以与不垂直，故直线与平面不平行，也不可能在平面内； 同时不存在常数使得，即， 即直线的方向向量与平面的法向量不共线，所以直线不垂直于平面， 所以直线与相交但不垂直. 故选：D. 27．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（　　） A．4　　 B．1　　 C．　　 D． 【答案】C 【详解】因为直线∥平面α， 所以, 得, 得, 故选：C 28．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（　　） A．3　　 B．　 　C．1　 　D． 【答案】C 【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以. 故选：C 29．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以 为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【详解】由平面的方程为，可得平面的一个法向量为， 又由直线的方向向量为， 设直线与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 题型2 用向量证明平行（共4小题） 【模型】平行三句话：线线看共线，线面看点积为零（加"线在面外"），面面看法向量共线。 【步骤】① 建系写出相关向量坐标；② 线线平行：证 ；③ 线面平行：证 且说明直线不在平面内；④ 面面平行：证 。 【易错】证线面平行只算 不够，必须补一句"直线 "，否则不完整。 30．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)（多选）在直三棱柱中，，，E，F分别是BC，的中点，D在线段上，则（　　） A．平面 B．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 D．直三棱柱的外接球半径为 【答案】ABD 【详解】在直三棱柱中，平面，又平面， 则，又，因此两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 对于A，点，，平面的一个法向量为， 则，又平面，因此平面，A正确； 对于B，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为， 则，B正确； 对于C，点，， 由在线段上，设，其中， 则， 因此直线与直线所成的角的余弦值为， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值， 由余弦函数单调性得此时直线与直线所成的角最小，因此，， 线段长为，C错误； 对于D，由，，得为等腰直角三角形，外接圆圆心为的中点，外接圆半径为， 因此直三棱柱的外接球球心即为的中心，， 则外接球半径为，D正确. 故选：ABD 31．（多选）如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为　　D．点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【详解】以 为原点，、、 的方向为 、、 轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，． 对于 A，，，，故 ，A 正确； 对于 B，，，可取平面 的法向量 ；又 ，，故 平面 ，B 正确； 对于 C，，C 错误； 对于 D，，点 到平面 的距离 ，D 正确． 故选：ABD． 32．（多选）如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（　　） A．直线与平行　　B．四面体的体积为定值 C．点到平面的距离为　　D．异面直线与所成的角为 【答案】ABC 【详解】对于A选项，连接， 因为是侧面的中心，是底面的中心， 则为的中点，为的中点， 所以在中，为的中位线，即，A正确； 对于B选项，因为，平面平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确； 对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，得，则， 所以点到平面的距离，C正确； 对于D选项，，, 则， 故异面直线与所成的角不为，D错误. 故选：ABC. 33．（多选）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（　　） A．　　B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为　　D．点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，； 由是棱上的动点，设，， 因为，，所以， 即，故A正确； 当为中点时，是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确；，，若存在点， 使直线与所成的角为， 则， 化简得，无解，故C错误； 由题意可知：点到平面的距离，为平面的法向量，所以点到平面的距离为， 所以，故D正确. 故选：ABD 题型3 用向量证明垂直（共4小题） 【模型】垂直三句话：线线看数量积为零，线面看方向向量与法向量共线，面面看法向量垂直。 【步骤】① 建系写出向量坐标；② 线线垂直：证 ；③ 线面垂直：证 （ 为法向量）；④ 面面垂直：证 。 【易错】数量积为零说明垂直，但坐标计算中负号与对应位置易错，逐位核对再下结论。 34．在棱长为1的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，下列选项正确的是（　　） A．AD∥平面A1BC1　 　B．三棱锥D­A1BC1的外接球的表面积为 C．DB1⊥平面A1BC1　 　D．三棱锥D­A1BC1的体积为 【答案】C 【详解】对于A，因为 与平面相交于，故AD与平面相交，故A错误； 对于B，三棱锥的外接球即正方体的外接球，得其直径为， 故外接球的表面积，故B错误； 对于C，因为正方体，故平面，故平面，故， 同理，又，平面，故平面，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 35．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（　　） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【详解】A项，如图，连接.，，， 且平面，平面，平面，，同理，，，且平面，直线平面，故A正确； B项，，且，四边形是平行四边形.，平面，平面，平面，点P在线段上运动，到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值，三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以，， 因为，则，，，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 36．（多选）如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（　　） A．　　B．向量，，共面 C．平面　　D．若，则该平行六面体高为 【答案】ACD 【详解】设， 由题意得，，， 所以，故A正确；， 若向量，，共面，则存在唯一实数对，使得， 即，而，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，故B错；，，，， 所以，， 因为，平面，所以平面，故C正确； 连接，，，过点作平面于点， 由题意得，则三棱锥为正四面体， 所以点到平面的距离即为正四面体的高，即平行六面体的高，，， 所以平行六面体的高为，故D正确. 故选：ACD. 37．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)（多选）如图，正方体，、、、分别为，，，的中点，则下列选项正确的是（　　） A．直线与直线是异面直线　　B．直线与平面垂直 C．点在线段上运动，则三棱锥的体积是定值　　D．二面角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】对于A：取的中点，的中点，连接、、、、、，， 因为、、、分别为，，，的中点， 所以，，所以，所以、、、四点共面； 又，，所以，所以、、、四点共面； 综上可得、、、、、在一个平面内，所以直线与直线共面，故A错误； 对于B：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以直线平面，故B正确； 对于C：连接，所以，又平面，平面， 所以平面，又点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，设为，又的面积为定值， 所以为定值，即三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D：由B可知平面的法向量为，又平面的法向量， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD 题型4 异面直线所成角（共5小题） 【模型】异面直线角取"锐角或直角"——方向向量夹角是钝角时必须取补角，余弦取绝对值。 【步骤】① 建系写出两直线的方向向量；② 算 ；③ 由余弦值得角（范围 ）。 【易错】方向向量夹角 对应异面直线角 ；异面直线角不可能取 （那是共线）。 38．长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，，， 所以，. 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 39．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 已知得，， 因为点在棱上，且，， 所以，，则.，，， 所以，则. 直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A 40．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】不妨设正四面体的棱长是，， 则，， 由正四面体的性质，两两夹角是， 则， 于是，中，由余弦定理，，则， 设直线与所成角为，则. 故选：C 41．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 42．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是___________. 【答案】 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 故设异面直线和所成的角为，则，.异面直线和所成的角是. 故答案为：. 题型5 直线与平面所成角（共4小题） 【模型】线面角用正弦：——与异面直线角的余弦公式区分开。 【步骤】① 求直线的方向向量 与平面的法向量 ；② 算 ；③ 范围 。 【易错】公式左边是正弦不是余弦；线在面内时角为 ，线垂直面时角为 。 43．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A．　　 B．　 　C．　 　D． 【答案】D 【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：D 44．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】D 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为，，解得. 故选：D. 45．已知三棱锥的棱长均为，则直线与底面所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】三棱锥A-BCD的棱长均为，三棱锥各个面均为边长是的等边三角形， 取边中点连接，则，作底面，则在上是的中心， 是在底面上的投影，， 设与面所成角为，则． 故选：C． 46．(25-26高二上·辽宁阜新市部分重点高中·期中)正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 【答案】 【详解】如图过作 于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则．又，所以， 故答案为：. 题型6 二面角（共5小题） 【模型】二面角"大小由法向量夹角给出，锐钝由图形说了算"——只算绝对值会丢半边。 【步骤】① 分别求两半平面的法向量 、；② 算 ；③ 结合图形判断二面角是锐是钝，确定余弦值符号。 【易错】法向量夹角与二面角相等或互补，必须回到图形中观察半平面的开口方向，不能默认相等。 47．(25-26高二上·辽宁七校协作体·期中)如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】设，则二面角的大小为， 由题意，，则， 所以， 即，得，所以， 即二面角的大小为. 故选：C. 48．(24-25高二上·辽宁大连市经济技术开发区第一中学·期中)（多选）正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（　　） A．直线与、与所成的角相等　　 B．侧棱与底面所成角的正切值为 C．该四棱锥的体积为　 　D．该四棱锥的外接球的表面积为 【答案】AD 【详解】连结，，交于点，连结，取中点，连结、，如下图所示： 对于A，因为，所以直线与所成角为， 因为，所以与所成的角为， ∵，，∴， ∴直线与、与所成的角相等，故A正确； 对于B，∵平面，∴是侧棱与底面所成角， ∵正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°， ∴，，，，， ∴侧棱与底面所成角的正切值为，故B错误； 对于C，该四棱锥的体积为，故C错误； 对于D，由题意可知正四凌锥中外接球的球心在上， 设外接球的球心为，连接 ， 设该四棱锥的外接球半径为， 在中，, 由勾股定理，可得，解得， ∴该四棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 49．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为______. 【答案】45°或135° 【详解】因为两平面的法向量分别为，， 则两平面所成的二面角与相等或互补， 因为，且，故. 故两平面所成的二面角为45°或135°. 故答案为：45°或135° 50．（多选）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（　　） A．直线和所成的角为　　B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为　　D．平面与平面夹角的正弦值为 【答案】BC 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， 对于A，，， 故， 故，即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，，，， 设平面的法向量为，则有， 令，则， 故点到平面的距离，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC. 51．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 【答案】 【详解】设为线段的中点， 因为，则点的轨迹是平面内以为焦点的椭圆（除去直线上两点）， 由，，可得，所以， 则以为原点，所在直线为轴建系，点的轨迹方程为（）， 又因为，则点的轨迹是平面内以为焦点的靠近点的双曲线一支（除去直线上两点）， 由，且，则， 则以为原点，所在直线为轴建系，点的轨迹方程为（）， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，而，、平面，所以平面， 因为平面，则，则二面角的平面角为， 因点的轨迹方程为（）， 不妨设，， 将代入中得，，则， 则， 所以， 因，等号成立时， 则， 则二面角的余弦值的最小值为. 故答案为： 拔高·压轴突破 题型1 点面距离与等体积法（共4小题） 【模型】距离的本质是最短——向量法用投影公式一步到位，等体积法换顶点化积为高。 【步骤】① 向量法：（ 在平面内任取， 为法向量）；② 等体积法： 解出高；③ 线面距、面面距都转化为点面距。 【易错】公式中的 必须在平面内取点， 在面外，别取反；法向量取短的算起来更方便。 52．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 53．已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（　　） A．　　 B．　 　C．　 　D． 【答案】A 【详解】如图所示： 由题意可得：，， 则等腰底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以点到平面的距离等于. 故选：A 54．在三棱锥中，若，，，则点到平面的距离为______. 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 设点，则，，， 因为，所以，解得. 同理，即. 由，解得，故点到平面的距离为. 故答案为：. 55．(24-25高二上·辽宁大连市经济技术开发区第一中学·期中)平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____．______. 【答案】 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 题型2 动点与轨迹问题（共4小题） 【模型】轨迹问题先"翻译条件"——等距、定比、垂直都可以化为坐标方程或几何特征。 【步骤】① 设动点坐标 ；② 把条件翻译成坐标等式（如 ）；③ 化简得轨迹特征（直线、圆、线段等）。 【易错】动点在棱、面内运动时，轨迹只是完整曲线的一段，别把范围写多。 56．(25-26高二上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（　　） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为5 【答案】ACD 【详解】由题知，圆锥的底面半径为，圆锥的侧面积，所以母线长， 则圆锥高，所以体积，故A正确； 侧面展开图弧长，圆心角，故B错误； 因点是底面圆上异于，的动点，AB是底面圆的直径， 故当时，的面积最大，此时三棱锥的体积最大， 则三棱锥的体积的最大值为，故C正确； 由B知，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角，在上且， 则，展开后的扇形中，所对的圆心角为， 故最短路径为线段， ，故D正确． 故选：ACD． 57．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)（多选）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F分别为AB，AD的中点，而G是线段B₁C₁(可与端点重合)上的动点，以下说法正确的是（　　） A．EF//平面BB₁D₁ B．当G是B₁C₁的中点时， A₁C⊥平面 EFG C．当G是B₁C₁的中点时，点C到平面EFG的距离为 D．当点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大 【答案】ABD 【详解】对于A,连接因为E，F分别为AB，AD的中点， 可得, 又平面 平面则又平面故A正确； 对于B,以为坐标原点， 以为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为，可得：, 则, 设平面的法向量， 则， 令，则， 所以， 所以，可得， 所以平面, 故B正确； 对于,由, 平面的法向量为， 可得点到平面的距离故C错误； 对于D,设可得, 又由, 设平面的法向量， 则， 令，则， 所以，，, 所以, 设线EG与平面ACD₁所成角为， 则， 法1：设， 则， 要求的最大值，不妨设， 因为在上为减函数，且恒成立，在上为减函数，且，故在上为减函数， 故即即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大， 法2：设， 则， 所以函数在上单调递减， 当时，取得最大值， 即时，取得最大值， 即点G与点B₁重合时，直线EG与平面ACD₁所成角最大， 故D正确， 故选： 58．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为3，E为棱的中点，点P，M是平面内两个动点，，，则线段长的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由题意得，设，，，点P在平面内， 故当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即，点的运动轨迹是以为顶点的正方形， 又，设，，则， 又，，故，化简可得，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 圆心到正方形中心的距离为， 正方形的顶点到圆心的最大距离：正方形顶点到的距离为； 正方形顶点到的最小距离：圆心到直线的距离为， 故，， 线段长的取值范围为. 故选：. 59．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 【答案】6 【详解】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，，，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当 时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN，，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 题型3 由空间角求参数（共5小题） 【模型】把"角已知"翻译成向量方程——正弦、余弦、垂直、共线各有各的等式，解方程即得参数。 【步骤】① 写出含参数的方向/法向量；② 按角的公式列等式（垂直用点积为零，角用余弦/正弦公式）；③ 解方程并检验范围。 【易错】由余弦值求参数可能有两解，注意夹角范围对解的筛选；正弦相等时余弦可能差一个符号。 60．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α，β的法向量分别为，若，则（　　） A．2　 　B．-2　 　C．　　 D．6 【答案】A 【详解】因为， 所以， 故选：A 61．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 【答案】 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故答案为： 62．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（　　） A．　 　B．　　 C．　　 D． 【答案】B 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 63．已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为______. 【答案】2 【详解】向量 ，， ，与互相平行，， ，解得故答案为： 64．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（　　） A．1　　B．2　　C．　　D．6 【答案】C 【详解】因为 ，，所以 ，；又 ，，． 所以点 到直线 的距离 ． 故选：C． 题型4 折叠问题（共4小题） 【模型】折叠抓"变与不变"——折痕同侧的量不变，跨折痕的角与距离要重算。 【步骤】① 折前先标出不变的线段长与垂直关系；② 折后建系（常以折痕上的垂线为坐标轴）；③ 用向量计算目标量。 【易错】折叠后原平面内的垂直关系只有与折痕相关或同侧的才保留，跨侧的垂直一般被破坏。 65．在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 66．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】取为的中点，则. 设球的半径为，则，得，则. 因为，， 所以二面角的平面角为. 由，得. 故选：A. 67．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，，，则，解得，而，所以. 故选：A. 68．(25-26高二上·辽宁阜新市部分重点高中·期中)如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（　　） A．　　 B．　 　C．　　 D． 【答案】C 【详解】如图，连接， 在正方形中，，∴，， ∵平面平面， 即二面角，即， 设正方形边长为，则，，，∴. 故选：C. 题型5 空间向量与最值、范围（共4小题） 【模型】距离最值抓"垂直"，参数范围抓"方程有解"——把几何最值化为一元函数或二次型。 【步骤】① 动点坐标化，目标量写成参数的函数；② 求二次函数最值或用配方法；③ 注意动点范围对自变量的限制。 【易错】最值点必须落在动点的允许范围内，区间端点与顶点都要比较。 69．三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 故答案为：． 70．(25-26高二上·辽宁朝阳市朝阳联盟·期中)（多选）已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则平面 C．平面与平面夹角的大小与，，都有关 D．若，则点P到平面的距离是 【答案】ABD 【详解】如图，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 则 ，即． 对于选项A：若，，即，，， 则，故，即A正确； 对于选项B：若，，则，， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：设平面的法向量，则令，则，可得， 又因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的大小与无关，故C错误； 对于选项D：设平面的法向量为， 因为，，可得，即， 取，可得，，可得是平面的一个法向量， 因为，则点到平面的距离为， 又因为，可得，故D正确． 故选：ABD． 71．（多选）已知正四面体的棱长为，点，分别为和的重心，为线段上一动点，则下列结论正确的是（　　） A．若取得最小值，则　　B．若，则平面 C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为　　D．直线到平面的距离为 【答案】BD 【详解】将正四面体放入正方体中， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为2， 则，，，. 因为点，分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为，所以. 设（），则， 所以，即， 所以，. 对于A，因为，， 所以. 当，即点与点重合时，取得最小值，此时，A错误. 对于B，若，则，可得，从而. 设平面的法向量为，因为，， 所以取，得. 因为，所以平面，B正确. 对于C，若平面，由B可知，则，，，设平面的法向量为，因为，， 所以取，则. 因为，所以平面， 则三棱锥外接球的球心在直线上. 又因为点为等边三角形的重心， 所以点为等边三角形的外心，外接圆的半径为. 设三棱锥外接球的半径为，则， 即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为，C错误. 对于D，因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，. 设平面的法向量为，因为，， 所以取，则. 因为，且直线平面，所以直线平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，D正确. 故选：BD 72．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)（多选）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（　　） A．无论M，N在何位置，为异面直线　　B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面　　D．AP与平面所成角的正弦最大值为 【答案】ABD 【详解】由于点M到平面的距离为且，所以点P一定在平面外，因此为异面直线，A正确， 当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设, 故， 且， 由于，故，化简得， 由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确， 设,则，且，，, 设平面的法向量为，则，令，则,，故， 由于，故，化简得， 联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误， 由于平面，平面，故, 又四边形为正方形，所以,平面， 所以平面， 故平面的法向量为， 设AP与平面所成角为，则， 则，当且仅当时取等号，，时，令，则， 故， 由于，当且仅当，即时等号成立，此时， 由且可得因此， 由于，，故的最大值为，故D正确，、 故选：ABD 题型6 立体几何综合压轴（建系大题）（共5小题） 【模型】压轴大题套路：证垂直给建系依据→设参写坐标→算向量→套公式，一步不落。 【步骤】① 先证线面垂直，为建系提供依据；② 建系写出全部关键点坐标；③ 按设问依次计算角、距离、参数；④ 结论回代检验。 【易错】坐标写错一步全盘皆输——先列点再算向量；求出的角注意用反三角正确表示。 73．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（　　） A．　 　B．　 　C．　 　D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 74．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知三棱锥，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A．　　 B．　 　C．　　 D． 【答案】B 【详解】如图：以A为原点，平行与的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 则，， 所以直线与所成角的余弦值. 故选：B. 75．（多选）在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（　　） A．　　B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为　　D．存在实数、使得 【答案】BCD 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则对于A：因为,故与不垂直，故A错误； 对于B：，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：,若存在实数使得，则， 即，解得，故D正确. 故选：BCD. 76．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（　　） A．的长度的最大值为 B．若平面，则 C．平面截正方体所得截面的周长为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，当时，的长度的最大值为， 此时点与点重合，故A选项正确； B：，设平面的法向量为，，， 所以有，可取， 当平面时，则有，则有， 即，，， 显然，故B选项正确； C：双向延长，分别交、于点，连接，分别交于点，如图所示，截面是五边形， 显然， 由平面几何知识可知， 因为，所以， 得，同理，可得， 于是，，，， 所以平面截正方体所得截面的周长为，因此C选项不正确； D：由上可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 因为， 所以有，当且仅当时取等号， 于是有，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此D选项正确， 故选：ABD 77．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，，，，，，，，，，，， 即. 故答案为： $