2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．抛物线与x轴，y轴分别交于，两点．    (1)求b，c的值； (2)记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，P为x轴上C点右侧一点，Q为抛物线上一点，若是以为斜边的直角三角形且与相似（点C与点A为对应顶点），求点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1) ； ； (2)连结，与相似吗？说明理由； (3)若点P为射线上一点，当与相似时，直接写出点P的坐标． 3．如图抛物线的对称轴为，对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的两个动点，且点在点的右侧，． (1)求该抛物线的函数表达式及线段的长； (2)当点与点重合时，直接写出点的坐标； (3)当点不与点重合时，且与（2）中的相似时，请直接写出点的横坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D． (1)求抛物线的解析式． (2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标． (3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似．若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 5．综合与探究 如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式． (2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形．当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积． (3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图①，抛物线与x轴交与、两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点M从B点以每秒个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒个单位沿方向向点B运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与相似? 7．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在与中，．所以称与为“阳似三角形”，连接，则为“阳似比”． (1)如图1，已知与为“阳似三角形”，其中，当时，“阳似比”______； (2)如图2，二次函数交x轴于点A和B两点，交y轴于点C．点M为直线在第一象限上的一个动点，且与为“阳似三角形”，连接， ①当点N落在二次函数图象上时，求出线段的长度； ②若，求的最小值． 8．如图，抛物线经过，，三点． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得，直接写出点D坐标． 9．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求点A，点C的坐标； (2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO； (3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长． 10．如图1，已知抛物线经过点，且交轴于，两点，交轴于点，已知点，是抛物线在第一象限内的一个动点，于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的值； (3)是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线的顶点为A，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC； (3)若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连接两点的坐标分别为，且它的图象关于直线对称 （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点同时从点出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连接，将