2023年中考数学专项训练 —— 含30度角的直角三角形

2023年九年级中考数学专项训练 —— 含30度角的直角三角形 1、如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点在边上，当为何值时，？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 2、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，∠ABC＝30°．点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B出发以每秒cm的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t． (1)当t＝2秒时，求△BPQ的面积； (2)PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由； (3)△BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 3、一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援， （1）求点C到直线AB的距离； （2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 4、如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°． (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (2)如果∠ACB＝75°． ①若⊙O的半径为2，求BD的长； ②求CD：BC的值． 5、如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点、点在轴的负半轴上，，． (1)求点的坐标； (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线、于点、，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线） (3)在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式． 6、如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD． (1)若，，求AB的长． (2)点M在FG上，，且，求正方形ABCD与正方形EFGH的周长比． 7、二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 8、如图①，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，． (1)求点的坐标； (2)以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，． ①如图②，当时，与轴交于点，求点的坐标； ②如图③，在（1）的条件下，点不变，继续旋转三角形，当点落在射线上时，求证四边形为矩形； (3)点不变，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 9、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为边BC上的点（不与B、C重合），且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF与EF相交于点F． (1)AC＝______；∠F＝______； (2)当BD＝DE时，求证； (3)求△EAF面积的最小值； (4)当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的取值范围． 10、如图，在中，是直径，是弦，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若D是弧的中点，．求的长． 11、如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，求的长． 12、如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）． (1)求线段的长，及点的坐标； (2)为何值时，的面积为； (3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值． 13、已知抛物线． (1)求证：抛物线与x轴有两个交点； (2)设抛物线与x轴交于B，D两点（点D在点B左侧），与y轴交于点C，顶点坐标为A． ①求证：△ABD是等边三角形； ②当时，求△ABC面积的最大值． 14、如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半轻的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，∠ABC＝60°．