2023年九年级中考数学专项训练 —— 相似三角形的综合问题

2023年九年级中考数学专项训练 —— 相似三角形的综合问题 1、已知：二次函数y=x2+bx+c经过原点，且当x=2时函数有最小值；直线AC解析式为y=kx-4，且与抛物线相交于B、C． （1）求二次函数解析式； （2）若S△AOB∶S△BOC=1：3，求直线AC的解析式； （3）在（2）的条件下，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合），过E作x轴的垂线交抛物线于F、交x轴于G，是否存在点E，使△BEF和△CGE相似？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接． （1）问题发现 在图（1）中，_________； （2）拓展探究 将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决 当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 3、如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 4、在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合）． （1）求证：； （2）在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，已知，两点的坐标分别为， （1）求抛物线的表达式； （2）一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为秒，当为何值时以、、为顶点的三角形与相似？ （3）若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6、如图，△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′. 求证：. 7、在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE． （1）如图1，连接BD，延长BE至点F，使BF＝BD，且AF∥BD， ①若AB，求AF的长度； ②如图2，过点D作BF的垂线DG，垂足为点G，交AF于点H，分别延长BA，DH交于点P，连接PE，过点F作FQ⊥BD于Q．求证：BE＝DGFG； （2）如图3，延长DC至点R，使CR＝AE，在四边形BCDE内有点M，∠BME＝135°，点N为平面上一点，连接ND，MN，若AB＝5，AE＝1，请直接写出MN＋NDNR的最小值． 8、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延长CB到点P，使∠APB=∠DCB， （1）求证：AP为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积； （3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的等量关系式，并说明理由． 9、在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点． (1)如图①，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上． ①当△OFC是等腰直角三角形时，∠FOC=　 　； ②求证：OE=OF； (2)如图②，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论． 10、已知：射线交于点，半径，是射线上的一个动点（不与、重合），直线交于，过作的切线交射线于． 图是点在圆内移动时符合已知条件的图形，在点移动的过程中，请你通过观察、测量、比较，写出一条与的边、角或形状有关的规律，并说明理由； 请你在图中画出点在圆外移动时符合已知条件的图形，第题中发现的规律是否仍然存在？说明理由． 11、如图，已知在△ABC中，AB=AC，tanB=，BC =4，点E是在线段BA延长线上一点，以点E为圆心，EC为半径的圆交射线BC于点C、F（点C、F不重合），射线EF与射线AC交于点P. （1）求证：AE2=AP·AC； （2）当点F在线段BC上，设CF=x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）当时，求BE的长. 12、如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运