2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，以的边上一点为圆心，为半径的圆，经过点，且与边交于点为上一点，连接，其中． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求阴影部分的面积．结果保留根号 2．如图，四边形内接于是的直径，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． (1)若平分，求证：是的切线； (2)若是的切线，，求的度数． 3．如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 4．如图，在等腰中，，以为直径的⊙O与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为，，求的长． 5．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径和的长度． 6．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 7．如图，AB是的直径，过BC的中点D，，垂足为E． (1)求证：DE是的切线； (2)若，的直径为5，求DE的长． 8．如图，是的直径，点P在的延长线上，弦交于点D．连接，且． (1)求证：； (2)求证：是的切线； 9．如图，是的直径，点C为圆周上一点，连接，点D是延长线上一点，作． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的长为 ． 10．如图，是的外接圆，，延长到D，连接，使．交于E． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径． 11．如图，在中，，点D在上，，过A、D两点的圆的圆心O在上． (1)判断所在直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，求图中阴影部分面积． 12．如图，点在圆上，的平分线交圆于点，点在的延长线上，且. (1)求证：是圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 13．如图，以边为直径的经过点P，C是上一点，连接交于点E，且，． (1)证明：是的切线． (2)若点C是弧的中点，已知，求的值． 14．如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求阴影部分的面积．（结果保留π） 15．已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 16．如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 17．如图，点A，，在上，且满足. 连接，；过点A作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)如果，求的长． 18．如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据切线的判定定理证明即可； （2）根据圆周角定理得到，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，证明∥，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据切线的性质得到，证明∥，得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【解析】（1）证明：平分， ， ， ， ， ∥， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：四边形内接于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ∥， ， ． 【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切； （2）在Rt中，由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长． 【解析】（1）证明：过作于， ， ， 平分交于点， ， 与相切； （2）解：设圆的半径为， ，，， ， ，是圆的切线， ， ， ， ， 在Rt中，， 解得：， ． 【点评】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性