2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题

6 2023 年内蒙古预赛 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1. 若 a > 0，b > 0，且 a+ 2b = 6，则 ln a+ 2 ln b 的最大值为 ． 2. x, y ∈ R，且满足  (x+ 1) 3 5 + 2023(x+ 1) = −2023 (y + 1) 3 5 + 2023(y + 1) = 2023 ，则 x+ y = ． 3. 设 a, b, c满足 a+b+c = a3+b3+c3 = 0，n为任意实数，则 a2n+1+b2n+1+c2n+1 = ． 4. 设 a1, a2, · · · , an, · · · 满足 a1 = a2 = 1，a3 = 2，求对于任意的 n ∈ N∗，都有 an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3，则 2023∑ i=1 ai = ． 5. tan π 9 · tan 2π 9 · tan 4π 9 = ． 6. 设 A、B 为函数 f(x) = 3− x2 的图象上在 y 轴两侧的点，则 f(x) 在 A、B 两点的切线与 x 轴 围成的区域面积的最小值为 ． 7. log4(x+ 2y) + log4(x− 2y) = 1，则 |x| − |y| 的最小值为 ． 8. 将 8 个半径为 2 的球分两层放置于 个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切， 且与圆柱的 个底面和侧面都相切，则圆柱的高为 ． 13 6 2023 年内蒙古预赛 二、解答题（本题满分 56 分） 9.（16 分）设 A、B 为椭圆 x 2 4 + y2 3 = 1上不同的两个点，直线 AB 分别与 x轴、y 轴交于 P (m, 0)， Q(0, n)，（m ̸= ±a，m ̸= 0），（n ̸= ±b，n ̸= 0）．若 M 是直线 y = 3 n 上任意 点，且直线 MA、 MQ、MB 的斜率存在且都不等于 0．试问：直线 MA、MQ、MB 斜率的倒数能否排成等差数列？ 若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 10.（20 分）某城市采用摇号买车的方式，有 30 万人摇号，每个月有 3 万个名额． (1) 如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有 3万 人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间？ (2) 在（1）的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第 个月摇上的概 率为 1 11 ，第二个月摇上的概率为 1 10 ，第三个月摇上的概率为 1 9 ，则平均每个人摇上号需要多 长时间？ 11.（20 分）求所有满足 √xy + √ uv 为有理数，且 ∣∣∣x 9 − y 4 ∣∣∣ = ∣∣∣u 3 − v 12 ∣∣∣ = uv − xy 的正整数组 (x, y, u, v)． 14 2023内蒙古赛区初赛解答 1.若a>0,b>0,且a+2b=6,则lna+2nb的最大值为 答案：3ln2 (x+1)5+2023(x+1)=-2023 2. x,y∈R且满足 则x+y= y+1)5+2023y+1)=2023 答案：-2 3.设a,b,c满足a+b+c=a3+b3+c3=0,n为任意实数.则a2m+1+b2n+1+c2m+1= 答案：0 4.设a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对于任意的正整数n∈N”都有an·am+1: an+2*an+3=an+an+1+am+2+an+3.则∑2a:= 答案：4044 5.tantanπ~tan= 答案：√3 6.设A、B为函数f(x)=3-x的图象上在y轴两侧的点，则f(x)在A、B的切线与x轴围成 的区域面积的最小值为 答案：8 7.1og4(x+2y)+1og4(x-2y)=1,则|x-y川的最小值为 答案：V3 8.将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻四个球均 相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为 答案：2⑧+4 9.设A、B为椭圆之号+兰=1上不同的两个点，直线 AB分别与x轴、y轴交于P(m,0),Q(0,n) ,(m≠±a,m0)，(nb,n≠ O),若M是直线y=异上任意一点，且直线MA、MQ、MB的斜率存在且都不等于0， 试问：直线MA、MQ、MB斜率的倒数能否排成等差数列？若能，请给出证明，若不能， 请说明理由 解析：当K存在时.设M(xo,)直线ABy=kx+n,A(x1h),B(x2,y2) (kx-y+n=0 联立x2 +号=1 得(4k2+3)x2+8kx+4n2-12=0 五+=一3出西2= 8kn 为+h=3,y=2=3n22 6n 4k2+3 4k2+3 4k2+3 的+州器品学品音·立学要证品之+品