第03练 空间向量的应用（8种题型过关练+能力提升练+拓展练）-2023年【暑假分层作业】高二数学（苏教版2019选修2）

第03练 空间向量的应用（8种题型过关练+能力提升练+拓展练） 1.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示 （1）， （2） ， （3） ， （4） . 2.空间两点间的距离公式 设，则 . 3.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量. 4.空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得 . （2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则 . 法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则. 法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则 （3）面面平行:设分别是平面的法向量，则，使得. 5. 空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则. （2）线面垂直: 设直线的方向向量, 是平面的法向量,则，使得. 法2: 在平面内取两个不共线向量,若.则. （3）面面垂直: 设分别是平面的法向量，则. 6.用空间向量研究距离、夹角问题 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. （3）直线与直线的夹角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. (4)直线与平面的夹角 设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. （5）平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 <解题方法与技巧> 1.求点到平面的距离的四步骤 2.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 3.利用向量法求两平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角) 一．空间向量的夹角与距离求解公式（共3小题） 1．（2022春•江苏月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．（2022春•江宁区校级期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥P﹣AEFG；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG，若，，则的值为 　 　． 3．（2023春•徐州期中）已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求： （1），，； （2）+与+所成角的余弦值． 二．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共2小题） 4．（2023春•金坛区校级月考）已知空间向量，，若，则m＝（　　） A． B． C． D． 5．（2022春•海陵区校级期中）已知空间向量＝（1，2，3），，若，则＝（　　） A．4 B．5 C． D． 三．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题） （多选）6．（2022春•清江浦区校级期中）关于空间向量，下列说法正确的是（　　） A．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l⊥m C．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 D．平面α，β的法向量分别为，则α⊥β （多选）7．（2023春•洪泽区校级月考）已知直线l1、l2的方向向量分别是，若，且l1⊥l2，则x﹣y的值可以是（　　） A．﹣3 B．7 C．1 D．﹣5 四．平面的法向量（共3小题） 8．（2023春•天宁区校级期中）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（　　） A．l⊥α B．l∥α或l⊂α C．l∥α D．l⊂α 9．（2023春•盱眙县校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（　　） A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2） 10．（2023春•常州月考）已知A（1，2，0），B（0，4，0），