6.3 第3课时 空间距离的计算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第3课时空间距离的计算 第1关练速度 15min为准，你的时间： 5.（2023·江苏南京高二期中)如图，在正三棱 1.(2024·河南焦作高二期末)已知平面α的一 柱ABC-AB,C1中，若AB=√2BB1=2,则点C 个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平 到直线AB,的距离为 () 面α内，则点P(-2,1,4)到平面a的距离为 A.10 B.3 C. B.v10 2.（2024·湖北孝感高二期末)已知空间向量 A.5 5 5 AB=(0,1,0),AC=(-1,1,-1),则点B到直 c D.30 线AC的距离为 ( 3 A.5 3 6.（2024·江苏扬州高二期中）在四棱锥 B. 3 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底 C.2 D.3 面ABCD,AB=√/3，BC=PA=1,E为PD的中 3.（2024·四川泸州高二月考)两平行平面α，B 点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC, 分别经过坐标原点0和点A(2,1,1),且两平 则点N到平面PAB的距离为 () 面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间 g.8 1 的距离是 3 √2 B.2 D.7 8 7.（多选)(2024·山东泰安高二月考)已知正方 C.3 D.3√2 体ABCD-AB1C,D1的棱长为1，点E,0分别 4.（2024·湖北十堰高二期中)如图，在棱长为1 是AB1,A1C1的中点，点P在正方体内部且 的正方体ABCD-AB1C,D1中，E为线段DD 的中点，F为线段BB,的中点.直线FC,到平 满足护证+0+子，则下列说法正确 面AB,E的距离为 ( 的是 A.BE与B,C所成角的正弦值是√ 5 B.点0到平面ABCD,的距离是2 4.1 √30 3 5 C.平面A,BD与平面B,CD,间的距离为 3 C. D.点P到直线AB的距离为 第6章学霸023 8.(2024·辽宁葫芦岛高二期末)在空间直角坐13.(2023·河南安阳一中高二月考)如图，已知 标系中，0为坐标原点，已知空间中三点分别 PA为圆柱的母线，BC为圆柱的下底面直 为A(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,2),则点0 径，AB=1,PA=3,AC=2,F为线段AC的中 到平面ABC的距离为 点，则点C到平面PBF的距离为() 9.（2024·安徽淮北一中高二月考)如图，在三 棱柱ABC-A1B,C1中，所有棱长均为1，且 AA1⊥底面ABC,则点B,到平面ABC,的距 离为 B.T© 19 G.29 D.39 19 19 10.(2023·福建南平高二期中)在棱长为1 14.(多选)(2024·福建莆田高二期中)如图， 四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底 的正方体ABCD-AB1C1D1中，平面AB,C与 面ABCD,l⊥平面PDC,垂足为P,Q为I上 平面AC,D间的距离是 的点，PD=AD=1,以点D为坐标原点，分别 11.如图，在直四棱柱ABCD-AB,C,D1中，底 面ABCD为直角梯形，AB∥CD且∠ADC= 以DA,DC,DP的方向为x轴，y轴，z轴的正 方向，并均以1为单位长度，建立空间直角 90°，AD=1,CD=√3，BC=2,AA1=2,E是 坐标系，设PQ=m(m>0),则 () CC1的中点，则AB1到平面ABE的距 离是 D A.Q(m,0,1) B.平面QCD的一个法向量为n=（1,0,-m) 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 C.当m=1时，点B到平面QCD的距离为√2 12.（2024·江苏南京高二月考)四棱锥P- D.当m=2时，点Q到直线AC的距离的平 ABCD中，AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0), AP=(3,-1,4),则这个四棱锥的高为 方为号 ( 15.（2024·四川凉山高二期末)如图，在棱长为 5 B.7 1的正方体ABCD-ABC1D1中，P为AD1 A. 5 的中点，Q为A,B,上任意一点，E,F为CD 上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平 C.5 D.25 面PEF的距离 () 选择性必修第二册·SJ学霸024 标系，若点M(x,y,0)到直线DC的距离等 于到直线PE的距离，则点M的轨迹方 程是 A等F号 B.和EF的长度有关 c等胃 19.(2024·重庆巴蜀中学高二期中)如图，正方 D.和点Q的位置有关 体ABCD-A1B,C,D1的棱长为2，E是棱B,C 16.（2024·广东江门高二期中)如图，在三棱 的中点，过AD,E的平面与棱BB,相交于 柱ABC-A1BC1中，底面△ABC是边长为 点F 23的正三角形，AA1=√7，顶点A,在底面的 (1)求证：F是BB1的中点； 射影为底面正三角形的中心，P,Q分别是异 (2)求点D到平面AD,E的距离. 面直线AC,A,B上的动点，则P,Q两点间 D 距离的最小值是 ( A.分 B.2 2 C.6 D.6 17.（2024·陕西宝鸡高二期中)在空间直角坐 标系中，定义：平面α的一般方程为Ax+By+ Cz+D=0(A,B,C,D∈R,A2+B2+C2≠0)，点 P(,yo,)到平面a的距离d= IAxo+Byo+Czo+D 一，则在底面边长与高都 √A+B2+C2 为2的正四棱锥中，底面中心0到侧面的距 离等于 18.（2023·河北唐山一中高二期末)如图，在正 四棱锥P-ABCD中，高为1，底面边长为2，E 为BC的中点，建立如图所示的空间直角坐 第6章学霸025 20.(2024·江苏连云港高二期中)如图，在四棱 22.(2024·江苏盐城高二月考)如 锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥ 图，在四棱锥P-ABCD中，平面 视频讲解 AB,AD∥BC,AD=2BC=2,PA=AB,点E在 PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AB= PB上，且PE=2EB. )CD=AD=1,M为棱PG的中点 (1)证明：PD∥平面AEC; (1)证明：BM∥平面PAD; (2②)当二面角5-4C-B的余弦值为时，求 (2)若PC=√5，PD=1, 点P到直线CD的距离. (i)求二面角P-DM-B的余弦值； (ⅱ)在线段PA上是否存在点Q,使得 2√ 点Q到平面BDM的距离是 9？若存 在，求出PQ的值；若不存在，请说明 理由. 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 21.(2024·山东烟台高二月考)如图，在边长为 1的正方体ABCD-AB1C,D1中，点P在 B1C1上，点Q在平面ABBA1内，设直线AA1 与直线PQ所成角为0.若直线PQ到平 面40，的距离为，则如9的最小 值为 视频讲解 D-- 选择性必修第二册·SJ学霸026方法总结 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤： 建坐标系 根据图形与已知条件，构建适当的 空间直角坐标系 准确求解相关点的坐标，并分别求 (求法向量 出两平面的法向量m,n,设两平面 的夹角为0 0 利用求两向量夹角余弦值的公式 (用公式 cos0cos(mn外mi风求夫角的 余弦值 第3关（练思雏宽度） 21g 解析：因为平面α的方程为3x+4y-5z=0,所以可得平面α 的法向量可以为n=(3,4,-5),又直线AB的方向向量为m=(1, 1,1),所以直线AB与平面a所成角的正弦值为1cos(m,n)1= m:2一=6，故答案为6 mlInl52x√315' 22.(1)证明：因为AB=AC=2,BC=22,所以AB2+AC2=BC2,所以 AB⊥AC,如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系， 则A1(0,0,2),B1(2,0,2),M(0,2,1),N(1,1,0),可得A1户= AA1B=(2A,0,0),A2=AA+A1产=(0,0,2)+(2A,0,0)=(2A,0, 2),即P(2A,0,2),所以P=(1-2A,1,-2),又因为AM=(0,2, 1),可得AM.P市=0，所以无论A取何值，AM1PV. (2)解：由(1)可知，A立=(0,2,1)，4=(1,1,0)，设平面4MW的 个法向量为m=(,,则m·=2=0 取y=1,则x= (m·A=x+y=0, -1,z=-2,可得m=(-1,1,-2),可得sin0=1cos〈P成，m)1= 1PN·ml2(λ+2) ,令t=入+2，te[2,3],则sin0= 1PN1Im16√(1-2A)2+5 12-11 5W22-10t+15√5 /1510 一，所以当t=2,即入=0时，0取 +2 26 2 得最小值，此时si血0=了 (3)解：存在，易知平面ABC的一个法向量为u=(0,0,1). 因为M=(1,-1,-1),P=(1-2入，1，-2)，设n=(a,b,c)是平面 PMw的-个法向量，则n·=a-6-e=0, (n·PN=(1-2λ)a+b-2c=0, 令a=3,可 得c=2-2入，b=1+2A,可得n=(3,1+2,2-2入)，则1c0s(u,n)1= lu·nl 12-2λ1 Lm0t+22+2-26,化简得8M2-2A+5耳 解得人=或A=，因为A[0,1,可得A= 4,所以存在点P 使平面PMW与平面ABC所成二面角的正弦值为V30, 6,点p 为A,B,上靠近A,的四等分点 选择性必修第二册·SJ 第3课时空间距离的计算 第1关（练速度） 1.C解析：由题得Pi=(1,2,-4),所以P(-2,1,4)到平面α的距离 为n.Pi1-2-4-4110 mV4+4+3,故选c 2.A解析：AB=(0,1,0),A元=(-1,1，-1)，故AB在A元上的投影向量 的模为4=1A·AC1(0,1,0）（1,-1石故点a到直 IACI √1+1+1 线AC的距离为V-子-√于-5放选A 3.B解析：两平行平面a,B分别经过坐标原点0和点A(2,1, 1),0i=(2,1,1),且两平面的-个法向量n=(-1,0,1),.两平面 间的距离为“.-2g1号，故选 4.D解析：AE∥FC1,FC1丈平面AB1E,AEC平面AB1E,.FC1∥ 平面AB,E,因此直线FC1到平面AB,E的距离等于点C1到平 面AB,E的距离，如图，以点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴， DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐 标系. D 则A(1,0,0,B1(1,1,1),C(0,1,1),E(0,0,2),F（1,1, 分)，=（1,0)=(-10,2）瓜=(0,1，. C1B=(1,0,0),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则 n应=-x+2=0令=2，则n=(1,-2,2) m·AB=y+=0, 设点C1到平面AB1E的距离为d,则d=”C1,故直线 C,到平面AB,E的距离为了放选D 5.D解析：由题意知，AC=AB=2,BB1=√2， 取AC的中点O,则B0⊥AC,B0=√3，建立 如图所示的空间直角坐标系0-，则 A(0,-1,0),B1(5,0,2),C(0,1,0),所 以AB1=(5,1,N2),C=(0,-2,0),所以 ICA.ABI CA在AB上的投影的长度为 IABI 后兮，所以点C到直线AB,的距离为4= 26 -( 放击D 6.B解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), cw10,P0..e0,72）-(5,1.00 0,1),由点N在平面PAC内，则可设A=xA花+yA市=(5x,x,y), 所以N,),放威-(5x,分之），因为NE1平面 学霸18 .a花=x+x=0, 8 /3 PAC,所以 解得 所以成= .y0 8,2),又因为平面PAB与平面重合，所以点N到平面PAB 11 的距离为g故选B B 方法总结 利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长 7.ACD解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0), D(0,1,0),A1(0,0,1),C(1,1,0),C(1,1,1),B1(1,0,1),D1(0, 1,),(分01）所u成=(0,1）a衣=(0,1，-1对 于A,设BE与B1C所成角为0，则cos0=1cos〈B1d,B克》1= IB C.BEI 牙，改E IBGIB 2x5 2 对于B,易知Cd=2d=(分，，0）因为A上平 面A1ADD1,A1DC平面A1ADD1,所以AB⊥A1D,又AD⊥AD1, AD1∩AB=A,AD1,ABC平面ABC,D1,所以A1D⊥平面ABCD1,所 以平面ABC1D1的一个法向量DA=(0,-1,1),则点0到平 面ABCD1的距离d=DA1C10=名=经故B错误；对于C, A1B=(1,0,-1),A1市=(0,1，-1)，A1D=(0,1,0).设平面A1BD的 n·A1B=0, 法向量为n=(x,y,z),则 0所以=0令：=1，所以 n.Ai=0 (y-z=0, A1D,·nl n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d1= nl 上-5因为A,D,∥BC,AD,=BC,所以四边形ABGD,为平行四 53 边形，所以A1B∥CD1,因为CD1C平面B1CD1,A1B￠平面B,CD1, 所以A1B∥平面B1CD1,同理可证BD∥平面B1CD1,A1BnBD= B,A1B,BDC平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1,所以平 面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， 即为号放C正确：对于D,因为店+市：号，所以 à（子2子）店(10,0则 手所以点P到 参考答案 /1A12- AP.AB 2 /18195 直线AB的距离d2= IABI √4416=6，故 D正确.故选ACD. E 8.46 3 解析：0(0,0,0)，A(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,2).A= (0,2,-2),A元=(-2,2,0)，0i=(2,0,2),设平面ABC的一个法向 (n·Ai=2y-2z=0, 量为n=(x,y,z), 取x=1,则y=1,z=1, n.A元=-2x+2y=0, n=(（1,l,1),点0到平面ABC的距离为d=10.n_2+2_ 放答案为 9.② 7 ,解析：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则4(9号0），8010,8(0l,,c00,.房以 (停2-)，G应-(01.-0.G瓜=01.o).设平商8c n·CA=0,(51 的法向量为n=(x,y,z),则 0即2+2y=0令x n.Ci=0,（y-z=0, 1,则y=z=√3，故n=(1,W5,3),所以点B1到平面ABC1的距离 为d= G5区散答案为四 √1+3+37 方法总结 点到直线的距离求法： (1)设过点P的直线1的单位方向向量为n,A为直线1外一点，点A 到直线l的距离d=√P12-(P·n)2 (2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公 式求距离。 3 10. 解析：以点A为坐标原点，AB,AD,A41所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B1(1, 0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),设平面 AB1C的一个法向量为m=(x1,1,1),AB=(1,0,1),A花=(1,1， 学霸19 m·AB=x1t1=0 0),由 取x1=1,可得m m·A花=x1y1=0, (1,-1,-1).设平面A1C1D的一个法向量为 n=(x22,),DA=(0,-1,1),DC=(1, （n·DA=-y2+a2=0,」 0,1),由{ 取x2=1,可 (n.DC=x2+z2=0, 得n=(1,-1,-1).因为m=n,平面AB,C与平面AC,D不重合， 所以平面AB1C∥平面A1C1D,A⑦=(0,1,0)，所以平面AB1C与平 西CD同的距离为市m合故答案为 1m133 11.V2解析：：A1B1∥AB,AB1￠平面 42 0》 ABE,ABC平面ABE,∴.A1B1∥平面 A ABE,A1B1到平面ABE的距离等于点A1 B 到平面ABE的距离. D2- ☒点D为坐标原点，以4，DC:DD所在 直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(1,23,0),E(0,5,1),41(1,0,2),则A店=(0， 25,0),A2=(-1,5,1),AA=(0,0,2).设平面ABE的一个法 n·A=0,25y=0, 向量为n=(x,y,2),则 即{ 令x=1,则 n·M应=0，(-x+3y+=0, y=0,z=1.故n=(1,0,1).故A,B1到平面ABE的距离d= M·n2=反 Inl 2 第2关（练准确率） 12.A解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则 n1应，2=y43=0令=1，可得y=2,a=0,即n=(1,2 n1ò，{-2+y=0, 0),cs(m,亦=n… 1 1nl1证15×√26 ，设AP与平面ABCD所成 角为a,则ina= 5x√/2石，于是点P到平面ABCD的距离为 1 成血a=行即四险维P一ACD的高为行放法入 13.D解析：因为BC为圆柱的下底面直径，所以 P BA⊥AC,以点A为原点，以AC,AB,AP所在直 线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0), B P(0,0,3),F(1,0,0),所以P元=(2,0，-3)， P=(0,1,-3),P=(1,0,-3),设平面PBF的 一个法向量为n=(x,y,z),则 P市=0即3a=0取=1，则 n·PF=0,(x-3z=0, x=3,y=3,即n=(3,3,1).则点C到平面PBF的距离为 言滑这n 14.ABD解析：对于A,因为PD⊥底面ABCD,ADC平面ABCD,所以 PD⊥AD.又AD⊥CD,CDC平面PDC,PDC平面PDC,所以AD⊥ 选择性必修第二册·SJ 平面PDC.因为lL平面PDC,所以1∥AD.因为PD=AD=1,则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1).因为Q 为l上的点，PQ=m(m>0),所以Q(m,0,1),故A正确；对于B, 因为D元=(0,1,0)，Dd=(m,0,1),设平面QCD的法向量为n= (x,y,z),则 aD武=0，即=0，令x=1,则：=-m,所以平面 即 n,Dd=0,(mx+z=0, QCD的一个法向量为n=(1,0,-m),故B正确：对于C,当m= 1时，n=(1,0,-1),D成=(1,1,0)，所以点B到平面QCD的距离 d=Dm。1 1n2+元=2，故C错误；对于D,当m=2时， t=(-2,1,-1),A花=(-1,1,0)，所以A花.元=3,1AC=2, 1Q心=6，所以点Q到直线AC的距离的平方d=Q心12- 广6（后了-n接m 15.A解析：取B,C,的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,所以点 Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度 无关，B错.又A1B1∥平面PCCD,所以点A1到平面PCCD的距离 即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q 的位置无关，D错如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则 c01,0.00.0,041.0,D,P(分01所以成-(0,1 0,赋=(1,0.).亦（分0,1）设a=(x,)是平面P6CD n·D=0,(1 的-个法向最则由0·成=0，y=0, x十z=0, 得{2 令z=1,则x=-2, y=0,所以n=(-2,0,1).设点Q到平面PEF的距离为d,则d= 1DA1·nl1-2+115 ，A对，C错故选A D P B 16.D解析：如图，设0是底面正三角形ABC的中心，连接A10, 则A0⊥平面ABC,A0C平面ABC,则A10⊥A0,因为AB=23, 所以A0=2x5 号×2×25=2，又M,=7,所以A0=√AM-A0 √3，连接C0,则C0⊥AB,设直线C0交AB于点D,则OD=1,以 直线C0为x轴，OA1为z轴，过点0平行于AB的直线为y轴建 立空间直角坐标系，则A1(0,0,5),A(1,-√3,0)，B(1,5,0), C(-2,0,0),A4=(-1,5,5),A元=(-3,5,0)，41B=(1,3, -√3)，AC=M+A元=(-4,25,5)，设n=(x,y,z)与A1B和AC n·AC=-4x+2W3y+3z=0 都垂直，则 取x=3,则y=1,2=2, n.A1i=x+3y-3z=0, 则n=(5,1,2),则P,Q两点间距离的最小值即为异面直线AC1 学霸20 与A,B间的距离，等于 n1-3+3+25-5故选D. √/3+1+4 3 D 17.2⑤ 解析：如图，以底面中心0为原点建立空间直角坐标系O- 5 xz,则0(0,0,0)，A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB 的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P的坐标代入并计算，得 A=0, A+B+D=0, B=-D, -A+B+D=0,解得 :.-Dy-- Dz+D=0,即2y+z-2= 2 2C+D=0, C=- 20, 0,d=12x0+0-21_25故答案为25 4+1 5 D 18.(y-1)2=4x+2解析：易得P(0,0,1),E(0,1,0),C(-1,1,0), D(-1,-1,0),Ci=(0,-2,0),P2=(0,1,-1),PM=(x,y, -1),CM=(x+1,y-1,0).点M到直线PE的距离d1=1PM1· 1- PM.P克 1 P1.P面 ,点M到直线DC的距离d2=1C成1· CM.CD 2 PM.Ph2 1- ,1P1. 1c1·c IPMIPEI c·,/1- CM.CD 12 AICMI.ICBI 即√x2+y2+1· 1 y+1 =√(x+1)2+(y-1)7. 2√x2+y2+1 1-y 2 1 ,整理可得(y-1)2=4x+2,即点M √(x+1)2+(y-1)7 的轨迹方程为(y-1)2=4x+2.故答案为(y-1)2=4x+2 重难点拨 两平行平面的距离等于其中一平面上任意一点到另一平面的距离， 所以两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来解决， 19.(1)证明：如图，连接BC1,因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平 面AD1EF∩平面ADD1A1=AD1,平面AD1EF∩平面BCC1B1=EF, 所以AD1∥EF,又AB=C,D1,AB∥C1D1,所以四边形ABCD1为 平行四边形，故AD1∥BC1,故EF∥BC1,又E是棱B1C1的中点， 所以F是BB,的中点. 4 (2)解：如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0), 参考答案 D1(0,0,2),E(1,2,2),设平面4D1E的法向量为m=(x,y,z),则 m-(,y(-20,2)=-22=0令=1，得=1， mAi=(x,y,z)·(-1,2,2)=-x+2y+2z=0, y=m=(1,月 所以点D到平面AD,E的距离为d:D·m m (2,0,0)· ,1） 2 4 =2× 3 3 1++1 4 方法总结 点到平面的距离求法： 如图，已知平面a的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面a 外一点过点P作平面a的垂线L,交平面a于点Q,则n是直线l的 方向向量，且点P到平面α的距离就是A心在直线1上的投影向量 20.(1)证明：连接BD,交AC于点F,连接EF,因为AD∥BC,所以 部%邵所邵所以m/,周为8C 平面AEC,PD丈平面AEC,所以PD∥平面AEC. (2)解：以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设r0.0,m0,则B(m0,0),c(m1,0,5(号0，号） D0,2.0),则花=(m1,0),应-(0，兮）设平面Ac的 法向量为a=(,,则·花-0，即y=0, 令x=1, 则y=-m,z=-2,故可取n=(1,-m,-2),平面ABC的法向量可 取m=(0,0,1),所以cos(m,)1=m1·1m√5+m×1 、m· 2 得m=1,因为亦-(0，-21)成-(1-1.0)，与成铜向的单 位向量=（停，经.0），所以点P到直线CD的距离为4： √-(D币.)2=3. 学霸21 第3关（练思维宽度） 21. 3 解析：因为直线PQ到平面ACD,的距离为， ,所以必有 PQ/平面4CD,即点P到平面4CD,的距离为，如图，建立空 间直角坐标系，设P(P,1,1),又A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0, 1),则4元=(-1,1,0)，AD=(-1,0,1),C=(p,0,1),设平 面m,的法向量为=(.则E10取=l 9气AD·n=-x+z=0, 得a=发-号9宁园P(台 1),过点P作平面ACD1的平行平面，与正方体ABCD-A1B,C,D 的截面为PMN,M,N分别为线段A1B,和线段BB1的中点，则 M(,71)v(11,2）,所以点Q在直线Mw上，设成- 成d=成am(分0小+w(o,7,）(分 子子A又网=(00,1)，则m0=· 1A411P01 2 ,当入=0时，cos6=0,当入≠ √：(gg 0时，c0s0= 1三，又 √2+1 ，所以cs0≤ 3 6 x ,则m日的最小值为 (丁故案为 D,↑2 22.（1)证明：取PD的中点N,连接AW,MW,如图所示. --->C M为棱PG的中点，MW/CD,AN=子CD:AB∥cD,AB= 2CD,AB/MN,AB=MN,:四边形ABMN是平行四边形， ∴.BM∥AN,又BM丈平面PAD,MNC平面PAD,∴.BM∥平 面PAD. (2)解：PC=√5，PD=1,CD=2,.PC2=PD2+CD2,.PD⊥ DC.,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PDC 平面PDC,.PD⊥平面ABCD,又AD,CDC平面ABCD, PD⊥AD,而PD⊥CD,AD⊥DC,以点D为坐标原点，DA,DC, DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.则 P(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0) 选择性必修第二册·SJ M为棱Pc的中点M(01,2)B(1,10)。 (i)D减=(01,2），D店=(1,10)，设平面BDM的-个法向 n·DM=y+ 量为n=(x,y,z),则 20, 令z=2,则y=-1,x=1, (n·DB=x+y=0, n=(1,-1,2),平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0), 、六c0〈n,D=G=后，根据图形得三面角P- DM-B为纯角，则二面角P-DM-B的余弦值为V石 61 (iⅱ)存在.假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的 距离是2)设成=A成，0≤e1,则0(A0,1-A,成=(A-1, -1,1-入)，由(2)知平面BDM的一个法向量为n=(1,-1,2), B武·n=A-1+1+2(1-A)=2-入，点Q到平面BDM的距离是 Bd·n_2-A_26 0m6gA子PQ22 专题探究01利用空间向量解决折叠问题 1.C解析：因为AB∥CD,∠ABD=120°，所以LBDC=120°.因为 A元=A克+B励+D元，所以1A元12=A克+B+D心+2A方.B励+ 24A官.D元+2Bd.Dd.所以27=9+4+1+2×3×2×cos60°+2×1× 2xoas60+2x3x1Xas(不成，7d,即ea(,d)=名所以异面 直线A'B与CD所成角的余弦值为。故选C 61 2.（1)证明：，：△ABC中，AC=BC=√3，AB=3,∴，由余弦定理得， 0装子，且4为三角带为 角，∴.∠ACB=120°，.∠A=∠ABC=30°.：AD=CD,∠ACD= ∠A=30°，∴.∠DCB=90°，即BC⊥CD.又.△PBC中，PC=BC= √3，PB=√6，PC2+BC2=PB2,.PC⊥BC.,PC,CDC平面PCD, PC∩CD=C,.BC⊥平面PCD.又PDC平面PCD,∴.BC⊥PD. (2)解：以点C为原点，直线CB,CD分别为x轴y轴，过点C且垂 直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. LACD=LA=30°，AC=√3，LADC=∠PDC=120°，由正弦定 理得，GD=inLADC:cD=4、V AC -=1.,BC⊥ sin∠ADC 5 2 平面PCD,∴.点P在平面zCy内.由PD=AD=CD=1,∠PDC= 学霸22