基础夯实练26：简单的三角恒等变换-2024届高三数学一轮复习备考

基础夯实练26 简单的三角恒等变换 1．已知x∈，cos(π－x)＝－，则tan 2x等于(　　) A. B．－ C. D．－ 2．(2023·保定模拟)已知sin＝，则sin 2θ的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 3．(2023·枣庄模拟)已知sin＝，则cos等于(　　) A．－ B. C．－ D. 4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－ D．2sin 18°cos 36°＝ 6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于(　　) A. B. C. D. 7．(2023·淄博模拟)＝ . 8．(2023·青岛模拟)已知tan 2θ＝－2，<θ<，则＝________. 9．化简并求值． (1)； (2)·. 10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan； (2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值． 11．已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　) A．α＋β＝ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋2β＝ 12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为(　　) A．－ B．－8 C．8 D. 13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则(　　) A．cos α＝ B．sin α＝ C．sin＝ D．sin＝ 14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝ ，cos(2α－β)＝ . 15．(2023·武汉模拟)f(x)满足：∀x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 16.(2023·盐城模拟)已知由sin 2x＝2sin xcos x，cos 2x＝2cos2x－1，cos 3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos 3x＝4cos3x－3cos x，已知cos 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则·＝________. 参考答案 1．D　2.B　3.A　4.C　5.BD　6.B　7.　8.－3＋2 9．解　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝32. 10．解　(1)因为tan(α＋β)＝， tan＝， 所以tan ＝tan ＝ ＝＝. (2)由<θ<，得<2θ<π， ∴sin 2θ＝＝， sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ ＝2××＝－， cos 4θ＝2cos22θ－1 ＝2×2－1＝－1＝. (3)由0<β<<α<， 得0<2β<，－<－2β<0， 则－<α－2β<. 因为sin(α－2β)＝>0， 所以cos(α－2β)＝ ＝＝. 由0<β<<α<， 得<2α<π，－<－β<0， 则<2α－β<π， 因为cos(2α－β)＝－， 所以sin(2α－β)＝. 因为<α＋β<， 又cos(α＋β) ＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－×＋×＝， 所以α＋β＝. 11．B　[tan α＝ ＝ ＝＝ ＝tan. ∵α∈，β∈， ∴α＝＋β，即α－β＝.] 12．A　[将π＝4sin 52°代入， 可得＝ ＝＝－ ＝－＝－ ＝－.] 13．AC　[∵sin ＝，α∈(0，π)， ∴∈， cos ＝＝.