第23讲 三角恒等变换（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第23讲 三角恒等变换 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)，简记作； (2)，简记作； (3)，简记作． 2.二倍角公式 (1)； (2)； (3)． 3.辅助角公式 ，其中为辅助角，且其中，，. 4.公式的逆用及有关变形 (1)； (2)；；； (3)；(降幂公式)； (4)，(升幂公式)． 5.常用结论 (1)； (2)(降幂公式)； (3)常用拆角、拼角技巧：例如，；； ；；；等. 考点一 两角和与差的三角函数 考点二 二倍角公式 考点三 辅助角公式 考点四 三角恒等变换的应用 考点一：两角和与差的三角函数 例1．在直角坐标系中，若角的终边绕原点O逆时针旋转得到角.已知角的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数定义求出，再利用差角的余弦公式求解作答. 【详解】依题意，，因此， 又角的终边绕原点O逆时针旋转得到角，则， 所以. 故选：B 例2．已知，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可. 【详解】. 故选：A 考点二：二倍角公式 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件两边同时平方即可. 【详解】， ， ， 故选：C. 例4．（安徽省黄山市2023届高三第二次质量检测数学试卷）若，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦的二倍角公式和“齐次式”结构，求出或，再利用的周期，化简，从而求出结果. 【详解】由余弦的二倍角公式知， 得到 ，即，解得或， 当时，， 当时， 所以，当时，或， 当时，或， 故选：D. 考点三：辅助角公式 例5．（2023·四川遂宁·统考二模）将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现利用辅助角公式将f(x)化简，再根据函数图象左右平移即可求出新的函数解析式． 【详解】， 将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度， 得到函数． 故选：D． 例6．函数的最小正周期和振幅分别是（    ） A．，2 B．，1 C．，2 D．，1 【答案】B 【分析】利用倍角公式和辅助角公式将的解析式化为正弦型即可求出答案. 【详解】， 所以的最小正周期是，振幅是， 故选：B. 考点四：三角恒等变换的应用 例7．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】 . 故选：B. 例8．在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先由可得△ABC为直角三角形，再由可得，可得△ABC为等腰三角形，进而可得答案. 【详解】在△ABC中, , ，故△ABC为直角三角形， ，即， ， 故△ABC为等腰三角形， 综上：△ABC的形状是等腰直角三角形. 故选：D. 一、单选题 1．若，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出和，结合两角和的正切公式求得结果. 【详解】，是方程的两根， ，， 则， 故选：A． 2．（2023·青海·校联考模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，，由求解即可. 【详解】解：由，解得， 则， 则． 故选：A. 3．若，则（    ） A． B． C．－ D．－3 【答案】D 【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系结合条件求得，再结合正切的差角公式即得. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：D. 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的值，利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】因为，则，因此，. 故选：D. 5．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意，可将展开为，再结合两角和的正切公式及即可求值. 【解答】∵， ∴ . 故选：D. 6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解. 【详解】因为， ，. 所以. 所以. 故选：A 7．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，，两式平方相加可得答案. 【详解】由条件可得，， 两式平方相加可得，所以， 故选：D 8．已知，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．