第24讲 解三角形（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第24讲 解三角形 1.余弦定理及其推论 (1)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC. (2)cosA＝；cosB＝；(3)cosC＝. 2.正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC； (2)sinA=,sinB=,sinC=； (3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c； (4)=2R. 3.三角形的面积公式 (1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高). (2)(R为△ABC的外接圆的半径). (3)S=(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径). (4)其中. 4.实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 5.常用结论 (1)三角形中的三角函数关系 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；sin=cos；cos=sin. (2)在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB. 考点一 正余弦定理解三角形 考点二 边角转化 考点三 利用基本不等式求范围问题 考点四 利用三角函数值域求范围 考点一：正余弦定理解三角形 例1．在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案. 【详解】如图， 若有两解，则，即，得. 故的值可以是. 故选：B. 例2．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（    ）． A．1 B． C． D．由D点的位置确定 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可 【详解】在中， ， 在中， ， 因为，， 所以， 所以， 所以， 故选：A 考点二：边角转化 例3．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，即可判断出结果. 【详解】因为三角形三条边上的高之比为， 所以三角形三条边之比为，即， 不妨设， 则最大角的余弦值为， 因此角为钝角，三角形为钝角三角形. 故选：A. 例4．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可. 【详解】由余弦定理可得： 由条件及正弦定理可得： ， 所以，则． 故选：A 考点三：利用基本不等式求范围问题 例5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围. 【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即， 解得：，，当且仅当时取等号， 又，因此b＋c的取值范围是. 故选：B 例6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理的边角互化和余弦定理求出角，再利用基本不等式和三角形面积公式求解. 【详解】由已知及正弦定理得，所以， 所以，又，所以． 由的外接圆面积为，得外接圆的半径1． 由正弦定理得， 所以，所以，解得， 所以的面积，当且仅当时等号成立． 故答案为: . 考点四：利用三角函数值域求范围 例7．在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解. 【详解】由正弦定理得， 所以 因为锐角△ABC中，，所以，所以， 所以，所以， 即． 故选:B. 例8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理求角A，，再利用正弦定理，转化，逆用两角和与差的正弦公式化简为，结合角的范围求其取值范围即可. 【详解】由余弦定理得，又，所以，所以，．由正弦定理可知，（R为外接圆的半径），所以．又，所以， 所以． 故选：B． 一、单选题 1．当孩子“嗖”