精品解析：湖南省常德市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

常德市一中2022年下学期高二年级期中考试试卷 数 学 （时量：120 分钟 满分：150 分 命题人：高二数学组） 一、单项选择题 （每小题 5 分，共40 分） 1. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 8 C. D. 1 2. 以点，为直径端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与互相平行，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在椭圆=1中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为（　　） A. 3x+4y=0 B. 3x-4y=0 C. 3x+4y-12=0 D. 3x-4y+12=0 7. 已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为3，动点M在侧面上运动（包括边界），且，则与平面所成角的正切值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 （每小题 5 分，共20 分，多选错选不得分，少选得2 分） 9. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A. 离心率为 B. 长轴长是 C. 焦距2 D. 焦点坐标为 10. 以下四个命题表述正确是（ ） A. 若直线l 沿x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则 该直线l 的斜率为 B. 圆 上有且仅有 2 个点到直线l：的距离都等于1 C. 圆 与圆的交线为 D. 若圆 与圆M 关于直线 对称，则圆M 的方程为 11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，K为A1D1中点，M为AB中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动， 则下列结论正确的有（　　） A. 直线BD1⊥平面A1C1D B. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 C. PQ+QG最小值为 D. 过点GKM的平面截正方体所得多边形的面积为 12. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 三、填空题 （每题 5 分，共 20 分） 13. 已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则k的值为_________． 14. 设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________. 15. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______. 16. 已知点是椭圆：上异于顶点动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为________. 四、解答题 （本题包括6 小题，第 17 题 10 分，18—22 题每题 12 分，共70 分） 17. 已知直线的方程为． （1）求直线过的定点P 的坐标； （2）直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线方程； 18. 在正四棱柱中，为的中点. （1）求证:平面. （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值， 19. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆：相切． （1）求的“欧拉线”方程； （2）点在圆上，求的最值． 20. 已知圆的圆心为，，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段的交点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）若过点的直线交曲线于，两点，求的取