2023届“极光杯”最后一卷高三模拟演练数学试题

数学参考答案 第 0页（共 18页） 2023年高考模拟演练 数学参考解答 导语：历经 2022年新高考、旧高考的冲击，各地模拟卷也纷纷开启“疯狂”模式．各 种二级结论、奇技淫巧甚嚣尘上，泰勒公式、极点极线等高等数学的知识不断侵 蚀考题，对不少数学上本就捉襟见肘的同学来说更是雪上加霜．当然，在这样的 大背景下，仍有优质的模拟卷涌现（如武汉市二月调研考试等），它们既有创新 的情境与问法，也对基本知识、基本方法、基本技能有着独到且深刻的考察．二 月底教育考试院命制的适应性考试更是释放了这样的信号：只会机械刷题、死记 硬背、不会思考的学生一定会被高考淘汰！基于这样的背景，“极光”系列于 2023 高考考前重磅推出“ 后一卷”．本卷在确保试题及答案准确、严谨，知识考察 完备、详尽的同时，有以下的一些亮点： （1）试题表述简洁，但考察深刻有力；力求以点带面，以单一题目考察多方面 的知识点，在稳住难度的同时，确保试题有一定的区分度． （2）试题情境创新，但不让考生感到陌生．陌生情境只是载体，如何将相对陌 生的问题进行化归，以生考熟，历来是全国卷常见的考法． （3）由于 2023年浙江省的加入，可能导致原先命制浙江卷的教授转至全国卷命 题组命题，因此本卷特意加入了一些富有浙江特色的试题． （4）不追随当前模拟卷难度的潮流，将整卷的难度控制在一个适中的范围，选 择题、填空难度相对比较平和，而解答题设置适当的梯度． 由于笔者水平有限，难免会有缺漏和错误之处，欢迎阅读到这份解答的读者指出 错误，笔者不胜感激！ （注：本卷中几乎所有试题均为原创，如有雷同，纯属巧合） 数学参考答案 第 1页（共 18页） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设集合 1{ | 2 1}xA x   ， 2{ | , }B y y x x A   ，则 A． A B B． B A C． A B  D． A B R 【解析】由题意，集合 A表示不等式 12 1x  的解集，故 }1|{  xxA ，集合 B表示当定 义域为集合 A时，函数 2y x 的值域，因此 { | 0}B x x ≥ ，故 A和 B之间没有包含关系，  }10|{ xxBA ≤ ， A B R ，选 D． 【命题分析】本题属于基础题，考察集合的概念与运算、集合之间的关系． 2．已知直线 2 10 0x y   经过双曲线 2 2 2 2 : 1 x y C a b   ( 0, 0)a b  的一个焦点，且平行 于C的一条渐近线，则C的实轴长为 A． 5 B． 10 C． 2 5 D． 2 10 【解析】由题，C的焦点在 x轴上，所以直线 2 10 0x y   与 x轴的交点 ( 5,0) 是C的 一个焦点，故 2 2 5a b    ；又因为直线 2 10 0x y   与C的一条渐近线平行，故C 的一条渐近线的斜率为 2 ，即 2 b a    ．解得 5a  ，因此C的实轴长为 2 5，选 C． 【命题分析】本题属于基础题，考察直线的位置关系、双曲线基本量的求解． 3．若虚数 z的模长为 1，则 1 1 z z    A． z B． z C． z D． z 【解析】方法一：设 iz a b  ， 0b  ．因为 z的模长为 1，所以 2 2 1a b  ．故 1 1 z z    2 2 2( i) 1 ( 1) 2 ( 1)i (2 2 ) 2 ( 1)i i ( i) 1 2 2 2 2 a b a b b a a a b a a b z a b a a                   ，选 B． 方法二：因为 z的模长为 1，所以 2| | 1z z z   ，则 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 z z z z z z z z z z          ． 方法三：因为 z的模长为 1，所以 2| | 1z z z   ，则 1 ( 1) 1 1 1 z z z z z z z z z z           ． 【命题分析】本题属于基础题，考察复数的模与四则运算．与常规的题目不同，本题未 给出具体的数据直接运算，需要考生自己设出复数的实部、虚部进行运算，考察了数学 抽象与数学运算．当然，本题也可以给 z赋一个具体的值，从而将抽象的问题转化为具 象的问题，从而简化问题． 数学参考答案 第 2页（共 18页） 4．某俱乐部有三位男性和三位女性，其中有两对夫妻，还有两人单身．这个俱乐部有 个