精品解析：上海市松江一中2022-2023学年高二下学期期中数学试题

松江一中2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．） 1. 函数的零点是______． 2. 抛物线的准线方程为__________． 3. 函数在区间上的平均变化率为____________. 4. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 5. 某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程(米)与着陆时间(秒)之间的函数关系为：，则此飞机着陆后滑行秒时的瞬时速度是___________米/秒. 6. 已知双曲线的离心率为2，则实数______． 7. 已知函数，则的值为__________． 8. 由曲线围成图形的面积为_______________． 9. 若函数在上严格增，那么a的取值范围是______． 10. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 11. 已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号） ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分．每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑．） 13. 函数在处的导数等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 14. 已知抛物线的焦点为，准线为是过焦点的一条弦，已知点，则（ ） A. 焦点到准线的距离为1 B. 焦点，准线方程为 C. D. 的最小值是5 15. 设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ） A. B. C. D. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（ ） ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处切线方程． 18. 已知抛物线（）. （1）若上一点到其焦点的距离为3，求的方程； （2）若，斜率为2的直线交于A、B两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，，求点M的坐标. 19. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． （1）求如图给定坐标系下椭圆C的标准方程； （2）若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 20. 已知函数． （1）若在处的切线与x轴平行，求a的值； （2）否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； （3）若在区间上恒成立，求a的取值范围． 21. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）． （1）若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角； （2）若，，，，试求双曲线的方程； （3）在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江一中2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4