2023年九年级中考数学专项训练 —— 圆与三角形的综合(圆的综合问题)

2023年九年级中考数学专项训练 —— 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 1、如图，直线与⊙相切于点为⊙的直径，  是直径右侧半圆上的一个动点(不与点、重合)，过点作，垂足为，连接、.设, .求: (1)与相似吗?为什么? (2)求与的函数关系式; (3)当为何值时，取得最大值，最大值为多少? 2、如图，从外一点引割线，与相切于点，连接，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 3、如图，在 中，，为边上一点，过 、、 三点 的圆交线段于点，点关于直线的对称点落在⊙ 上，连． （1）求证：； （2）若 ，点 在运动过程中， 当点 关于直线 的 对称点正好落在 的边上时，求 的长； （3）当 时，设的面积为 ， 的面积为 ，求 的值． 4、（1）（学习心得） 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆⊙，则点、必在⊙上，是⊙的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________． （2）（问题解决） 如图，在四边形中，，，求的度数． 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样、、、四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． （3）（问题拓展） 如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 5、如图，在中，，是边上的一点，连接，使，是上的一点，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求阴影部分的面积．（结果保留根号和） 6、如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求． 7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相较于点M，与AC相切于点D．过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）连接FM与BD相交于点K，求证：MK=ME； （3）若AF=1，tan∠N=，求BE的长.              8、已知，四边形内接于，，连接、交于点． （1）如图，求证：； （2）如图，过点作于点，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，作，交于点，交于点，且，若，，求的半径． 9、如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦ADCO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB． (1)求证：CD是⊙O的切线． (2)求证：2BF2=AD⋅CF． (3)若，OC=5，求tan∠ABE的值． 10、如图，已知Rt△EBC中，∠B＝90°，A为BE边上一点，以边AC上的点O为圆心、OA为半径的圆O与EC相切，D为切点，AD∥BC． （1）求证：∠E＝∠ACB． （2）若AD＝1，，求BC的长． 11、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD的长； （3）试探究FB、FD、FA之间的关系，并证明． 12、如图，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作的切线交的延长线于点P，连接． (1)求证：； (2)若，求线段，的长． 13、如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 14、如图，已知是边长为的正方形，是边上的一个动点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．作的外接圆．设＝，＝． （1）求与之间的函数关系式； （2）若是的切线，求的值； （3）过点________作________________，垂足为________，交________于点________，直线________交________于点________（如图）．若________＝，则________的值是________． 15、如图，在以AB为直径的半⊙O上有点C，点D在上，过圆心作OF⊥CD的于点F，OF、AD的延长线交于点E，连结CE，若∠DEC＝90°． （1）试说明∠BAC＝45°； （2）若DF＝1，△ACE的面积为△DCE面积的3倍，连接AC交OE于点P，求tan∠ACD的值和OP的长； （3）在（2）的条件下，延长EC与AB的延长线相交于点G，直接写出BG的长　 　． 16、已知：是的外接圆，且，，D为上一动点． (1)如图1，若点D是的中点，等于