北京市第九中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年北京市第九中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共50分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．给出下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 2．在△ABC中，A为钝角，则点P（tanB，cosA）（　　） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 3．要得到函数y＝cos（2x+）的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 4．函数f（x）＝cos22x﹣sin22x的最小正周期是（　　） A． B．π C．2π D．4π 5．已知tanα＝2，tanβ＝3，则tan（α+β）＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 6．设，，是非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知cos（）＝，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的图象关于点对称 B．f（x）在上单调递增 C．f（x）在上的值域为[﹣1，1] D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称 9．已知△ABC外接圆的圆心为O，，，A为钝角，M是BC边的中点，则＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11．已知tanα＝2，则＝　 　． 12．已知向量，，若，则＝　 　． 13．已知α，β都为锐角，，则cosβ的值为 　 　． 14．求值：tan55°+tan65°﹣tan55°tan65°＝　 　． 15．如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为，则cosα的值等于　 　． 16． “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角为α，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为，则锐角α＝　 　． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知平面向量，向量与的夹角为60°． （1）求与； （2）求证：． 18．（12分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PFAE为矩形．建立坐标系用向量法证明： （1）PC＝EF； （2）PC⊥EF． 19．（12分）已知α，β为锐角，，． （1）求cosα的值； （2）求角β． 20．（12分）已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若x∈[0，π]，求函数f（x）的最值． 21．（12分）已知函数． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调递减区间以及在区间上的最值． 22．（14分）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T＝24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （Ⅰ）求座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h（t）的解析式； （Ⅱ）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （Ⅲ）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值． 2022-2023学年北京市第九中学高一（下）期中数学