2023年九年级中考数学专项训练 —— 等边三角形的判定和性质

2023中考数学专项训练 —— 等边三角形的判定和性质 1、如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题： (1)求证：点C是弧的三等分点． (2)求的长． 2、如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 3、如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，求的长． 4、已知两条线段AC和BC，连接AB，分别以AB，BC为底边向上画等腰△ABD和等腰△BCE，∠ADB＝∠BEC＝α． (1)如图1，当α＝60°时，求证：△DBE≌△ABC； (2)如图2，当α＝90°时，且BC＝6，AC＝2． ①求DE的长； ②如图3，将线段CA绕点C旋转，点D也随之运动，请直接写出C，D两点之间距离的取值范围． 5、如图，和分别位于两侧，点为中点，连接，． (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，连接交于点，在上取一点使得，若，，，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，请直接写出当取最大值时的面积． 6、问题发现 已知：如图1，等边三角形A1A2A3，点P是A1A2下方的任意一点，∠A1PA3＝∠A3PA2＝60°，可证：PA1+PA2＝PA3，从而得到是定值． （1）这个定值是　 　． （2）请写出上述证明过程． 类比探究 如图2，把（1）中条件“等边三角形A1A2A3，∠A1PA3＝∠A3PA2＝60°，”改为“正方形A2A1A3A4，∠A1PA4＝∠A4PA3＝∠A3PA2＝45°，”其余条件不变． （3）请问：还是定值吗？ （4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 7、在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于． (1)求． (2)如图1，D为延长线上一动点，以为直角边作等腰三角形，连接，求直线与y轴交点F的坐标． (3)如图2，点E为y轴正半轴上一点，且，F是线段之间一点，连接，且，分别在射线、上找一点M、N，使的周长最小，求其最小值． 8、如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由； （3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值． 9、在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，. （1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点在上时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出结论并给出证明； 　 （3）当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长. 10、如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于. （1）连接，则之间的数量关系是 ； （2）若，求的大小（用的式子表示） （3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明. 11、如图，在等边中，，点D为边上一点，点E为边上一点，连接． (1)如图1，过点E作交于点F，延长交延长线于点G，若，求的长； (2)如图2，将绕点D逆时针旋转得到，连接，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，点K为边上一点，连接、，在第（2）问的条件下，当周长最小时，请直接写出的面积． 12、（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）； （2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因． （3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P， ①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？ ②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？ 13、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的角平分线交⊙O于点D．过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由