2023年九年级中考数学专项训练 —— 抛物线与x轴的交点问题

2023中考数学专项训练 —— 抛物线与x轴的交点问题 1、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1． (1)抛物线的对称轴为 　 　，抛物线与y轴的交点坐标为 　 　． (2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点． 2、已知抛物线，其中，为实数． (1)若抛物线经过点，请判断抛物线与轴的交点个数： (2)抛物线经过点，，，． ①若时，求的取值范围； ②若，当取得最大值时，求抛物线的解析式． 3、阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 4、在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若，当时，．求y的函数表达式． (2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证． 5、在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像的顶点坐标是，与轴的交点坐标是． (1)求该二次函数的表达式； (2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图像与一次函数（为常数）的图像有2个公共点，求的取值范围． 6、定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； (3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 7、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 8、函数y＝，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G． (1)图象G经过3个定点，分别为 　 　，　 　，　 　； (2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值； (3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值． 9、已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为． (1)填空：b=________；（用含a的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值； (3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围； (4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围． 10、学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数y＝x2－2|x|＋1的图象和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．请根据函数图象完成以下问题： (1)观察发现： ①写出该函数的一条性质 ； ②函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2－2|x|＋1＝0有 个实数根； (2)分析思考： ③方程x2－2|x|＋1＝1的解为 ； ④关于x的方程x2－2|x|＋1＝m有4个实数根时，m的取值范围是 ； (3)延伸探究： ⑤将函数y＝x2－2|x|＋1的图象经过怎样