广东省汕头市2023届高三三模数学试题

2023年龙湖区高考考前训练卷 数学 （本试卷满分150分.考试用时120分钟.） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ） A. 寸 B. 2寸 C. 寸 D. 3寸 5. 从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图像与x轴相邻的两个交点为M，N，他们之间有一个最高点为P，，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 7. 将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 存在两个零点 D. 在(1，+∞)上单调递增 11. 已知抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，A在第一象限，若，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 线段AB的长度为 C. D. 以AF为直径的圆与y轴相切 12. 已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中项的系数为______.（用数字作答） 14. 已知圆，则过原点且与相切直线方程为______. 15. 已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________． 16. 已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 18. 已知等比数列前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由． 19. 如图，四棱锥的底面为正方形，，E为PB的中点，已知，. （1）证明：平面； （2）求点C到平面的距离； （3）若平面平面，求直线EC与平面所成角的正弦值. 20. 在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有五个大小相同小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回答问卷”. 方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”； 方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”. 当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值. （1）若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望； （2）若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为，试估计该年级学生对饭堂的满意度.（结果保留3位有效数字） 21. 已知双曲线实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上. （1）若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；