2023中考数学高频考点突破：旋转综合压轴题（面积问题）

2023中考数学高频考点突破：旋转综合压轴题（面积问题） 1．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”． (1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如 是等邻角四边形； (2)问题探究：如图1，在等邻角四边形中，，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)应用拓展：如图2，在与中，，，，将绕着点A顺时针旋转角得到（如图3），当四边形为等邻角四边形时，求出它的面积． 2．已知是正三角形，D为边上一点，连接． (1)如图1，在上截取点E，使得，连接交于点F，若，，求点A到的距离； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，取的中点G，连接，证明； (3)如图3，点P为内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段．．将沿翻折到同一平面内的，在线段上截取，连接．已知，，．直接写出的面积． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值． 4．如图在中，，点D，E分别在边上，，连接，，点M，P，N分别为的中点，连接，． (1)图1中，线段与的数量关系是___________；位置关系是____________． (2)将绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接，判断的形状，并说明理由． (3)将绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值． 5．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点． (1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ； (2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出△MNP面积的最大值． 6．如图，在△ABC中，AB＝，∠A＝45°，AC＝，过点C作直线平行AB，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△（点B，C的对应点分别为，），射线，分别交直线于点P、Q． (1)如图1，求BC的长； (2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan∠APQ； (3)如图3，当点P，Q分别在线段，上时，试探究四边形的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 7．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________； (2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明． 8．如图，、均为等边三角形，，．将绕点沿顺时针方向旋转，连接、． (1)在图①中证明； (2)如图②，当时，连接，求的面积； (3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 9．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E． (1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=　 （用含a的代数式表示）； (2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论； (3)图3中，若CA＝2，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当 时，△CAD的面积最大，最大面积是 ． 10．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°． (1)如图1，D为线段BC上一点，连接BE、CE，已知DE－CD＝2，BD＝8，求AB的长； (2)如图2，D为线段BC上一点，连接BE、CE．过点A做于H，延长AH交CD于F，取CE中点G，连接FG，求证：DE＝2FG； (3)如图3，已知，．作点关于直线BC的对称点，将以为旋转中心旋转，点为DE中点，连接CM，将线段CM绕点顺时针旋转90°得线段，连接．在的长度取得最大的情况下，取AB的中点，动点在线