2023的中考数学高频考点突破：旋转综合压轴题（角度问题）

2023中考数学高频考点突破：旋转综合压轴题（角度问题） 1．问题：如图（1），在中，，，，试探究满足的等量关系． [探究发现] 小明同学利用图形变换，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由已知条件易得，，根据“边角边”可证 ，得，在中，由 定理，可得，得，可得之间的等量关系是 ． [实验运用] （1）如图2，在正方形中，的顶点E、F分别在边上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）在（1）条件下，连接，分别交于点M、N，若，运用小明同学探究的结论，求正方形边长以及的长． 2．综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1． (1)______°，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2． (2)线段、、之间的数量关系为______；（不说明理由） (3)连接正方形对角线，若图2中的的边、分别交对角线于点、点．如图3，求的值； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4． (4)若，，请直接写出线段的长． 3．（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是 ． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系． 4．如图，已知为等腰直角三角形，，，点D、E分别为边、上的一动点（且满足），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接、． (1)如图1，当点D与点A重合时，求证：①；②； (2)如图2，当点D与点A不重合时，结论是否仍然成立？请说明理由： (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为M．试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 5．在中，，． 【问题】如图①，将绕点逆时针转，得，延长交于点，则与的数量关系是 ， ； 【探索】如图②，将绕点逆时针转，得，延长交于点，连接，． （1）求 （2）连接，若，求的长； 【应用】如图③，在Rt中，，Rt中，，，则　   　． 6．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)直接写出的度数； (2)若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度（如图②），若平分，平分，求的度数； (3)在图①基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，（当三角板旋转一周后，两块三角板停止运动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少． 7．如图1，在中，，点为边上的一点， 将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接． (1)求的度数． (2)当时，求的长． (3)如图2，在(2)的条件下，取中点，连接交于，试探究线段的数量关系和位置关系，并说明理由． 8．综合与实践 如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为α． (1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值； (2)如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：； (3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角α的值． 9．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点． (1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ； (2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出△MNP面积的最大值． 10．菱形的对角线，交于点O． (1)如图1，过菱形的顶点A作于点E，交于点H，若，求的长； (2)如图2，过菱形的顶点A作，且，线段交于点H，交于点E．当D，C，F三点在同一直线上时，求证：； (3)如图3，菱形中，，点P为直线上的动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转60°得到线段，连接，当线段的长度最小时，直接写出的度数． 11．为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，